Problema algebrico/geometrico

[ragoo1]

Salve a tutti.

Sull'ipotenusa $BC$ di un triangolo $ABC$ rettangolo in $A$ e isoscele, si trovi un punto $P$ tale che, essendo $Q$ ed $R$ le sue proiezioni ortogonali sui cateti $\bar{AB}=\bar{AC}=a=8$ si abbia: $m\bar{PQ}+n\bar{PR}=ka$, ove $m$, $n$ e $k$ sono numeri interi positivi. Fissato $m=7>n$, si assegnino ad $n$ e $k$ valori convenienti, soddisfacenti alla relazione precedente.

Soluzione $\bar{AQ}=\bar{PR}=(m-k)/(m-n)a$ con $m>n$ e $k>n$.

Vorrei capire se cio' che sto facendo e' corretto oppure se sto prendendo un granchio.

Si puo' osservare che $\bar{AQ}=\bar{PR}=\bar{CR}$.
Analogamente, $\bar{AR}=\bar{PQ}=\bar{BQ}$.

Pongo quindi $\bar{AQ}=x$ con $0
$\bar{PQ}=\bar{AR}=\bar{AC}-\bar{CR}=a-x$

Passo alla relazione:

$m\bar{PQ}+n\bar{PR}=ka$

$m(a-x)+nx=ka$

$am-mx+nx=ka$

$-mx+nx=ka-am$

$-x(m-n)=a(k-m)$

$x=-(a(k-m)/(m-n))$

Ho dunque il sistema misto:

$\{(x=-(a(k-m)/(m-n))),(x>0),(x
Quindi:

$\{(-(a(k-m)/(m-n))>0),(-(a(k-m)/(m-n))
$\{(a(k-m)/(m-n)<0),(a(k-m)/(m-n)> -a):}$

$a>0$ per costruzione, pertanto:

$\{((k-m)/(m-n)<0),((k-m)/(m-n)> -1):}$

$\{((k-m)/(m-n)<0),((k-m)/(m-n)+1>0):}$

$\{((k-m)/(m-n)<0),((k-m+m-n)/(m-n)>0):}$

$\{((k-m)/(m-n)<0),((k-n)/(m-n)>0):}$

A questo punto il sistema si biforca, giusto? Devo considerare i casi in cui $mn$.

Se $m $\{(k>m),(k $m
Se $m>n$:
$\{(kn):}$
$n
Nel caso specifico si ha che $m>n$, quindi $nn$.

[HowardRoark]

"ragoo":

$a>0$ per costruzione, quindi:
$\{((k-m)/(m-n)<0),((k-n)/(m-n)>0):}$

Dovrebbe essere $\{((k-m)/(m-n)<0),((k-m)/(m-n) > -1):}$

[ragoo1]

Si', ho semplicemente saltato un paio di passaggi. Ho modificato il post iniziale inserendo tutti i passaggi.

[@melia]

Ho rifatto tutto il procedimento. Hai ragione.

[ragoo1]

Grazie mille.

Non vorrei abusare, ma ho qui un altro problema che mi lascia un tantinello perplesso.

Si considerino:
a) un triangolo $ABC$, rettangolo in $A$, con $A\hat BC=30°$;
b) una semicirconferenza, la quale abbia il diametro $AD$ sul cateto $AB$, con $\bar{AD}<\bar{AB}$, e incontri l'ipotenusa $BC$ nei punti $E$ ed $F$.
Supposto $\bar{AD}=2r=8$, si determinino i cateti $AB$, $AC$ in modo che sia verificata la sequente relazione:

$\bar{EF}^2+3/4\bar{BC}^2=kr^2=112$.

Soluzione: indicato con $O$ il centro della semicirconferenza, porre $\bar{OB}=2x$, con $0
Tanto per cominciare, la soluzione non mi sembra una soluzione; il problema chiede di determinare la lunghezza di $AB$ e $AC$. Sembra piu' che altro un suggerimento. Ma e' un suggerimento che credo porti ad un errore.

A mio avviso ha molto piu' senso porre $\bar{BD}=x$. Dopodiche' conduco l'asse alla corda $EF$, che interseca la corda $EF$ nel punto $H$.

$\bar{OB}=\bar{BD}+\bar{OD}=x+r$

Il triangolo $BOH$ e' un triangolo rettangolo 30-60-90 per costruzione, quindi:

$\bar{OH}=(x+r)/2$

Poiche' $\bar{AD}<\bar{AB}$, come richiesto dalla traccia, $\bar{BD}>0$, ma l'ipotenusa del triangolo $ABC$, $BC$, non puo' essere tangente o esterna alla semicirconferenza, deve per forza secarla. Dunque:

$\{(\bar{BD}>0),(\bar{OH}
$\{(x>0),((x+r)/2
$\{(x>0),(x+r<2r):}$

$\{(x>0),(x
A questo punto posso facilmente calcolare il quadrato della semicorda con Pitagora:

$\bar{HF}^2=\bar{OF}^2-\bar{OH}^2=r^2-((x+r)/2)^2=r^2-(x^2+2rx+r^2)/4=(4r^2-x^2-2rx-r^2)/4=(3r^2-2rx-x^2)/4$

Dunque, il quadrato della corda $EF$:

$\bar{EF}^2=(2\bar{HF})^2=4\bar{HF}^2=4(3r^2-2rx-x^2)/4=3r^2-2rx-x^2$

Non rimane che trovare $\bar{BC}^2$. Sfrutto il triangolo rettangolo 30-60-90.

$\bar{AB}=\bar{BD}+\bar{AD}=x+2r$

$\bar{BC}=(2(\bar{AB}))/sqrt(3)=(2(x+2r))/sqrt(3)=(2x+4r)/sqrt(3)$

$\bar{BC}^2=(4(x+2r)^2)/3$

Gia' che ci sono, calcolo anche il cateto $AC$, dato che a conti fatti e' cio' che il problema richiede.

$\bar{AC}=\bar{AB}/sqrt(3)=(x+2r)/sqrt(3)$

Non rimane che sviluppare la relazione:

$\bar{EF}^2+3/4\bar{BC}^2=kr^2$

$3r^2-2rx-x^2+3/(4)(4(x+2r)^2)/3=kr^2$

$3r^2-2rx-x^2+(x+2r)^2=kr^2$

$3r^2-2rx-x^2+x^2+4rx+4r^2=kr^2$

$2rx = kr^2-7r^2$

$2rx = r^2(k-7)$

$x = (r(k-7))/2$

Dunque:

$\{(x = (r(k-7))/2),(x>0),(x
$\{((r(k-7))/2>0),((r(k-7))/2
$r>0$ per costruzione:

$\{(k-7>0),(k-7<2):}$

$\{(k>7),(k<9):}$

Sicche':

$7
Il problema e' che nel suggerimento $\bar{OH}=x$, ma in tal caso $x$ non puo' essere semplicemente maggiore di zero. Deve essere maggiore di zero piu' qualcos'altro, ossia la lunghezza che il cateto $OH$ avrebbe se $B-=D$.

Ahem, ora che ci penso, se $B-=D$:

$\bar{OH}=\bar{OD}/2=r/2$

E, si', anche con questo approccio $7
Nel caso concreto, ponendo $\bar{OH}=x$ avrei $k=7$, $a=4$, quindi $x=2$. Ma in questo caso avrei anche che $\bar{AD}=\bar{AB}$, che non e' accettabile per la condizione imposta dalla stessa traccia del problema.

[Noodles1]

Nella migliore delle ipotesi devi aver commesso una qualche svista:

$bar(EF)^2=4(r^2-x^2)$

$bar(BC)^2=4/3(2x+r)^2$

$bar(EF)^2+3/4bar(BC)^2=kr^2 rarr$

$rarr 4(r^2-x^2)+(2x+r)^2=kr^2 rarr$

$rarr x=r/4(k-5)$

$0 lt x lt r rarr$

$rarr 0 lt r/4(k-5) lt r rarr$

$rarr 5 lt k lt 9$

[ragoo1]

Cio' che sto contestando e' quello $0
Nulla da ridire su $x
Ma $x>0$ non e' sufficiente. Disegnando la figura e' facile capire il perche', ma in ogni caso nella traccia, al punto b, e' scritto che $\bar{AD}<\bar{AB}$.

$\bar{AD}=2r$

$\bar{AB}=\bar{OB}+\bar{OA}=2x+r$

Quindi:

$\bar{AD}<\bar{AB}$

$2r < 2x+r$

$-2x < -r$

$2x > r$

$x > r/2$

Quindi $r/2

Cita

Segnala

[Noodles1]

Hai ragione:

$r/2 lt x lt r rarr$

$rarr r/2 lt r/4(k-5) lt r rarr$

$rarr 7 lt k lt 9$