Problema algebrico

[giannirecanati]

Se [tex]a<100[/tex] con a intero positivo, per quanti valori di a il sistema: [tex]x^2=y+a[/tex] e [tex]y^2=x+a[/tex] ha soluzioni intere? Potreste indicarmi la strada da seguire per risolvere questo problema?

[Gi81]

Potresti sottrarre membro a membro

[giannirecanati]

Cerco di sfruttare il tuo suggerimento: sottraendo membro a membro ottengo [tex]x^2-y^2=y-x[/tex] che è quindi scomponibile in [tex](x-y)\cdot(x+y+1)=0[/tex]. Se x=y nella prima equazione x deve soddisfare [tex]x^2-x-a=0[/tex], risolvo l'equazione di secondo grado= [tex]x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4a}}{2}[/tex] ed x deve essere intero. Qui però mi blocco perchè non riesco a stabilire che parametro deve soddisfare a affinchè x sia intero.

[giannirecanati]

Forse ci sono [tex]1\pm\sqrt{1+4a}[/tex] deve necessariamente essere pari, poichè uno è dispari affinchè il risultato sia pari la radice deve essere di un numero dispari [tex]=>[/tex] 1+4a deve essere il quadrato di un numero dispari con a<100. a può assumere i valori di: 2,6,12,20. Sono già quattro possibili soluzioni del sistema. Adesso dovrei porre xy, ma non so' proprio come procedere.

[milizia96]

"giannirecanati":a può assumere i valori di: 2,6,12,20. Sono già quattro possibili soluzioni del sistema.

Oltre a quelli da te specificati, $a$ può assumere anche i valori 30, 42, 56, 72, 90.

[giannirecanati]

Hai ragione milizia 96, non li ho considerati. E con questi in totale si arriva a ben 9 soluzioni. Manca però il caso xy, che non saprei come analizzare .

[Gi81]

Non c'entra $xy$
Prima hai ottenuto $(x-y)*(x+y+1)=0$ e hai analizzato $x-y=0$ (ovvero $x=y$)
Ora analizza $x+y+1=0$, ovvero $x=-y-1$. Verrà una cosa simile alla precedente

[giannirecanati]

Grazie infinite Gi8 per l'ultima dritta. Come hai ben suggerito analizziamo ora il caso in cui [tex]x+y+1=0[/tex] ed y=-x-1, sostituiamo [tex]=>[/tex][tex](-x-1)^2-x-a=0[/tex]. Risolviamo le varie operazioni ottenendo:[tex]x^2+x+1-a=0[/tex], risolviamo quest'equazione di secondo grado ottenendo: [tex]x=\dfrac{-1\pm{\sqrt{1+4(a-1)}}}{2}[/tex] ed x deve ancora una volta essere intero. Anche stavolta il risultato della radice deve essere dispari quindi [tex]1+4(a-1)[/tex] deve essere un quadrato dispari. I valori di a alla fine possono essere:1,2,3,6,7,12,13,20,21,30,31,42,43,56,57,72,73,90 e 91 e quindi a può assumere ben 19 valori (semplicemente basta aggiungere 1 alle soluzioni precedenti, l'unica soluzione che si è aggiunta come nuova è proprio 1 però ). Comunque viene, finalmente!

[@melia]

Mi spiace non aver avuto tempo questa settimana perché mi sarebbe piaciuto aiutarti nella soluzione del problema che si collega molto bene ad un'attività che sto svolgendo con i miei studenti di prima. Posso chiederti dove hai trovato l'esercizio e se ce ne sono di simili?

[giannirecanati]

L'esercizio ce lo aveva proposto la nostra professoressa qualche giorno fa e proprio oggi gli ho portato la soluzione che è risultata corretta, grazie anche milizia96 e Gi8. Comunque non conosco la fonte ma se ne vuoi dei simili, posso sempre chiedere all'oliforum dato che gli utenti sono bravi a generalizzare esercizi o a proporne dei nuovi ma molto simili.

[@melia]

Ti spiego: ho appena fatto con gli studenti di prima la differenza tra verificare e dimostrare, uno degli esercizi sui quali abbiamo posto l'attenzione è
"Il quadrato di un numero dispari è sempre il successivo di un multiplo di 4"
Il tuo esercizio sta come il cacio sui maccheroni per l'anno prossimo, per vedere se si ricordano qualcosa di tutto il lavoro svolto, veramente usando questa proprietà l'esercizio si sarebbe risolto molto velocemente e mi spiace di non aver contribuito alla soluzione.

Grazie per la tua offerta e, senza impegno, se trovi qualcosa ti prego di farmi un fischio. Ciao.

[giannirecanati]

Ecco qui che sbuca un bell'esercizio sui sistemi, viene da un Imo (1961) .

Risolvere questo sistema di equazioni in [tex]x,y,z[/tex]:

[tex]x+y+z=a[/tex]

[tex]x^2+y^2+z^2=b^2[/tex]

[tex]xy=z^2[/tex]

Che condizione devono soddisfare a e b perchè x,y e z siano reali positivi distinti?

Non riesco a scrivere il sistema con il latex, potreste dirmi il codice?

[adaBTTLS1]

facendo un po' di conti, ho ricavato: $a>0, 1/3a^2

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[juggos]

"giannirecanati":Se [tex]a<100[/tex] con a intero positivo, per quanti valori di a il sistema: [tex]x^2=y+a[/tex] e [tex]y^2=x+a[/tex] ha soluzioni intere? Potreste indicarmi la strada da seguire per risolvere questo problema?

"Se a < 100 con a intero positivo" fa presumere che [tex]a[/tex] rientri nell'intervallo dei numeri naturali privati dello zero, altrimenti sarebbe così: "Se a < 100 con a intero positivo o nullo".

Non so dirti nulla sui sistemi perchè ancora non li ho studiati, comunque mi farebbe piacere se visitassi il mio blog e poi mi daresti un parere: http://algebradibase.blogspot.com/.

Eccoti una lezione sugli insiemi.

[giannirecanati]

Per non aver fatto i sistemi vuol dire che stai al primo anno del liceo, se conosci quello che sta scritto sul tuo blog (funzioni comprese) ti faccio i miei migliori complimenti, molte cose infatti non si studiano in prima come la cardinalità degli insiemi e le funzioni.

La soluzione non è molto chiara e la riporto:
[tex]z=\dfrac{a^2-b^2}{2a}[/tex], x e y = [tex]\dfrac{a^2+b^2\pm\sqrt{(10a^2b^2-3a^4-3b^4)}}{4a}[/tex]. Per x,y positivi a>0 (come avevi ben detto) e allora z positivo implica [tex]\left | b \right |[/tex] [tex]a<\sqrt3\cdot\left | b \right |[/tex]. Queste condizioni sono sufficienti per definire x e y reali positivi e poichè [tex]z^2=xy[/tex] ed x e y sono distinti, anche z sarà distinto.

[adaBTTLS1]

sì, è ciò che ho ottenuto io, considerando che io ho risposto solo alle condizioni sui parametri.
c'è qualcosa da chiarire sul "risultato" del sistema?

[giannirecanati]

A quanto pare no, l'importante era solo chiarire le limitazioni. Comunque, complimenti non è da tutti risolvere un imo .

[adaBTTLS1]

grazie!

[giannirecanati]

Di nulla, propongo un altro esercizio, sempre sui sistemi, soltanto molto più semplice e veloce del precedente (che stavolta sono riuscito a risolvere):

Siano x e y due numeri reali tali che [tex]\left\{\begin{matrix}2^x=4^{y-1} \\ 27^y=3^{x+1}\end{matrix}\right[/tex] Quanto vale x+ y?

[adaBTTLS1]

ma questo è un gioco da ragazzi ....

$x+y=-4-1=-5$

[giannirecanati]

Correttissimo . Questo diciamo che è un esercizio per @melia, la nostra prof ce ne ha offerto un altro:

Per quanti valori del parametro k il sistema [tex]\left\{\begin{matrix}2x+y=1 \\ 8x^3+y^3=k\end{matrix}\right[/tex] ha una ed una sola soluzione reale?



Volevo postare la soluzione con che tasto si nasconde il testo?