Problema algebrico

[giannirecanati]

Se [tex]a<100[/tex] con a intero positivo, per quanti valori di a il sistema: [tex]x^2=y+a[/tex] e [tex]y^2=x+a[/tex] ha soluzioni intere? Potreste indicarmi la strada da seguire per risolvere questo problema?

[adaBTTLS1]

una oppure due reali e coincidenti?

per un valore di k, $k=1/4$, si ha ${x_1=x_2=1/4; y_1=y_2=1/2}$

... si usa "spoiler" da "anteprima".

[giannirecanati]

Mai vista tanta rapidità nel svolgere i problemi! Per fortuna sono ben fornito e se hai ancora voglia di svolgere dei sistemi ti propongo questo (dovrebbe essere più difficilotto):


Determinare per quali valori del parametro [tex]b\inR[/tex] il sistema [tex]\left\{\begin{matrix}{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1 \\ x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=b\\x_1+4x_2+9x_3+16x_4+25x_5=b^2}}\end{matrix}\right[/tex] ha soluzione.

Soluzione:

La cosa è un po' lunghetta da [tex]latexare[/tex]. Praticamente bisogna applicare alla seconda uguaglianza la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Quindi nella disuguaglianza deve valere il segno di uguaglianza e questo succede soltanto se esiste un reale [tex]t[/tex] in modo tale che[tex]tx_i=ix_[/tex] per ogni i. Ciò è possibile se tutti gli[tex]x_i=0[/tex], tranne soltanto uno. [tex]=>[/tex][tex]1\leq{b}\leq5[/tex] quindi se poniamo [tex]x_b=1[/tex] otteniamo una soluzione del sistema.

[adaBTTLS1]

avevo spento. questo l'ho visto con un po' di ritardo.
comunque io pensavo alla semplice domanda e al teorema di Rouché-Capelli, dato che mi sembra un sistema lineare di 3 equazioni in 5 incognite.
il rango della matrice principale è 3, e dunque lo deve essere anche quello della matrice completa: dunque, o non ho capito la domanda, o ... ?

[giannirecanati]

In realtà puoi evitare di di utilizzare le matrici applicando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz alla seconda uguaglianza, in cui vale il segno di uguale se e solo se gli [tex]x_i[/tex] sono tutti uguali.

[adaBTTLS1]

intendevo dire: se è un problema "esistenziale", quello che affermi non è in contraddizione con il teorema da me citato?

$|(1,1,1),(1,2,3),(1,4,9)| != 0$ significa che il rango è tre, qualunque sia il valore di $b$.
questo, naturalmente, senza "mettersi a trovare le soluzioni".

posta pure qualche dettaglio in più della tua soluzione.
ciao.

[giannirecanati]

Non avendo particolare praticità con le matrici, preferisco utilizzare questa disuguaglianza. Riscriviamo la seconda equazione come:
[tex]b=x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5[/tex]
=[tex]\sqrt{x_1}\sqrt{x_1}+(2\sqrt{x_2})\sqrt{x_2}+(3\sqrt{x_3})\sqrt{x_3}+(4\sqrt{x_4})\sqrt{x_4}+(5\sqrt{x_5})\sqrt{x_5}\leq\sqrt{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}\sqrt{x_1+4x_2+9x_3+16x_4+25x_5}[/tex] [tex]=b[/tex]

Da qui se ne conclude che nella disuguaglianza deve valere il segno di uguaglianza e questo può succedere se e soltanto se esiste [tex]\lambda[/tex] reale tale che [tex]\lambdax_i=ix_i[/tex] per ogni [tex]i[/tex]. Ciò è possibile se e solo se tutti gli [tex]x_i[/tex] tranne uno sono zero e quindi concludiamo che se il sistema ha soluzione allora b deve essere un intero da 1 a 5. Ponendo [tex]x_i=0[/tex] per [tex]i \ne \{b[/tex] e [tex]x_b=1[/tex] otteniamo la soluzione del sistema.