Problema!! (75262)

[k121]

1)in due villaggi dell'Amazzonia la popolazione di uno era i 5/6 della popolazione dell'altro. una grave epidemia costrinse a emigrare 70 abitanti di ogni villaggio, per cui attualmente il primo villaggio hai 4/5 degli abitanti del secondo. quanti abitanti ha oggi ciascun villaggio?

2)determina per quali valori di k le rette di equazioni kx-2y+4=0 e 2kx-y=2 si incontrano in un punto della bisettrice del primo e terzo quadrante.

[BIT5]

chiamo x gli abitanti di uno dei due villaggi e y gli abitanti del secondo villaggio...

Sappiamo (per la prima informazione) che 5/6x=y

inoltre dopo l'epidemia, sappiamo che ogni villaggio ha perso 70 persone trovandosi ad essere cosi' ad avere uno i 4/5 degli abitanti del secondo.

Quindi

[math] \frac45 \(x-70 \) = y-70 [/math]

abbiamo due incognite e due informazioni, risolviamo un sistema

[math] \{ \frac56 x = y \\ \frac45 \(x-70 \) = y-70 [/math]

facciamo i calcoli nella seconda equazione

[math] \{ \frac56 x = y \\ \frac45 x- 56 = y-70 [/math]

sostituiamo la prima nella seconda

[math] \{ \frac56 x = y \\ \frac45 x - 56 = \frac56 x - 70 [/math]

la seconda sara' dunque (minimo comune multiplo)

[math] \frac{24x - 336}{30} = \frac{25x - 350}{30} [/math]

quindi eliminando il denominatore comune rimarra'

24x-336=25x-350 ovvero x=14

avendo indicato con x il numero di un villaggio, da cui sono poi andati via 70 abitanti, il valore non ha significato.

questo e' perche' il testo non e' chiaro. Infatti non si sa se inizialmente erano gli abitanti del primo villaggio a essere i 4/5 dell'altro o viceversa.

Proviamo dunque a interpretare il testo nella situazione iniziale

[math] \{ x = \frac56 y \\ \frac45 \(x-70 \) = y-70 [/math]

questo porta, sostituendo la prima nella seconda, ad avere

[math] \frac45 x - 56 = y - 70 \to \frac45 \( \frac56 y \) - 56 = y - 70 [/math]

quindi

[math] \frac23 y - 56 = y - 70 \to 2y-168 = 3y - 210 \to y = 42 [/math]

anche qui e' impossibile far "uscire" 70 persone, visto che y e' il numero di uno dei due villaggi. Boh

2) i fasci si incontrano nel punto:

[math] \{kx-2y+4=0 \\ 2kx-y=2 [/math]

utilizziamo per risolvere il sistema un altro metodo, ad esempio il metodo di riduzione (ma puoi usare il metodo che preferisci ;) )

moltiplichiamo la prima equazione tutta per due, e scriviamo la seconda nello stesso ordine della prima

[math] \{2kx-4y+8=0 \\ 2kx-y-2=0 [/math]

sottraiamo dalla prima, la seconda

otterremo

[math] -3y+10=0 \to y= \frac{10}{3} [/math]

e quindi (sostituiamo la y trovata ad una delle due equazioni, scelgo la prima)

[math] kx=2y-4 \to kx= \frac{20}{3} - \frac{12}{3} = \frac83 [/math]

e quindi

[math] x= \frac{8}{3k} [/math]

tutti i punti che stanno sulla bisettrice del primo quadrante, hanno x=y

pertanto siccome y=10/3, anche x dovra' essere 10/3

pertanto

[math] \frac{8}{3k} = \frac{10}{3} \to \frac83 = \frac{10}{3} k \to k= \frac83 \cdot \frac{3}{10} = \frac45 [/math]

la risposta e' k=4/5