Problema (59505)

[ggen]

ProblemA :Avendo un rettangolo con base=2a e altezza=2b trovare il rombo cirscoscritto al rettangolo di area minima .Risoluzione= il rombo con area =8ab

[BIT5]

Le diagonali del rombo circoscritto sono parallele ai lati del rettangolo e si incontrano nel centro del rettangolo.

Considera le diagonali del rombo ABCD (chiama A il vertice alla tua sinistra e continua in senso antiorario), diagonale minore AC, maggiore BD
Chiama H il punto di intersezione della diagonale con il lato del rettangolo.

Chiama x AH.

Pertanto avremo che

[math] x \ge 0 [/math]

La diagonale minore sara' dunque lunga x+a+a+x

Chiama PQRS i vertici del rettangolo, partendo dal vertice in basso a sinistra e proseguendo in senso antiorario, chiama K il punto di intersezione della diagonale DB con il lato superiore del rettangolo.

considera i triangoli AHS e SKD.

Essi sono entrambi rettangoli e sono simili avendo gli stessi angoli (trai questa conclusione con Talete, considerando le diagonali e i lati del rettangolo, che sono paralleli)

Pertanto grazie alla similitudine, sai che

[math] \bar{AH} : \bar{HS} = \bar{SK} : \bar{DK} [/math]

Quindi

[math] \bar{DK}= \frac{a \cdot b}{x} \to \bar{DK}= \frac{2ab}{x} [/math]

Pertanto la diagonale maggiore misurera'

[math] 2b+ \frac{2ab}{x} [/math]

La minore abbiamo detto che sara'

[math] 2a+2x [/math]

Pertanto l'area (semiprodotto delle diagonali)

[math] A(x)= \frac{\no{2}(a+x) \cdot \(2b+ \frac{2ab}{x} \)}{\no{2}} [/math]

Ovvero

[math] A(x)= 2b \frac{x^2+2ax+a^2}{x} = 2b \frac{(a+x)^2}{x} [/math]

Deriviamo...

[math] A'(x)= 2b \frac{2(a+x)x-(a+x)^2}{x^2} [/math]

E dunque raccogliendo (a+x)

[math] A'(x)=2b \frac{(a+x)(2x-a-x)}{x^2} = \frac{(x+a)(x-a)}{x^2} = \frac{x^2-a^2}{x^2} [/math]

Studiamo il segno della derivata che dipendera' solo dal numeratore (il denominatore e' sempre positivo)

[math] x^2-a^2 > 0 \to xa [/math]

Pertanto nei limiti determinati all'inizio (x>0) avremo che la funzione decresce fino a

[math] x=a [/math]

e poi cresce.

Pertanto avremo area minima per

[math] x= a [/math]

Sostituendo x=a alla funzione A(x) troveremo l'area:

[math] A(a)=2b \frac{a^2+2a^2+a^2}{a}= 2b \frac{4a^2}{a}=8ab [/math]

Pertanto il rombo di area minima si ha quando la diagonale e' lunga 4a (e l'altra 4b, dal momento che l'altra diagonale misurava 2b+2ab/x)2b+2b=4b)