Problema (57908)

[whinne]

in un parallelogramma la diagonale minore misura 2 radical 2 cm e formacon un lato un angolo di 30 gradi. sapendo che l angolo opposto a tale diagonale è di 45 gradi.calcola il perimetro

Aggiunto 48 secondi più tardi:

risolvetelo x piacere

[BIT5]

Immagino che sia un problema di trigonometria (altrimenti la prossima volta specifica l'argomento).

Cominciamo disegnando il parallelogramma e dando le stesse lettere.

Disegna dunque il parallelogramma ABCD con diagonale minore BD.

L'angolo

[math] C \hat{D}B[/math]

e' di 30 gradi.

L'angolo

[math] B \hat{C} D [/math]

e' di 45 gradi.

Considera il triangolo DCB.

Per il teorema dei seni, sai che

[math] \frac{\bar{BD}}{\sin (D \hat{C} B\)}= \frac{\bar{BC}}{\sin (C \hat{D}B\)} [/math]

E quindi sostituendo ( e ricordando che

[math] \sin(30^{\circ}) = \frac12 \\ \\ \sin \(45^{\circ} \)= \frac{\sqrt2}{2} [/math]

Avremo

[math] \frac{2 \sqrt2}{\frac{\sqrt2}{2}}= \frac{\bar{BC}}{\frac12} [/math]

E quindi BC=2

Per trovare CD invece, sempre per il teorema dei seni, sapendo che lato/seno angolo opposto e' 4, imporrai

[math] \frac{\bar{CD}}{\sin(105^{\circ})}=4 [/math]

Il seno di 105 (e' il terzo angolo del triangolo, essendo 180-45-30) e' pari a seno(60+45)

ricordando che

[math] \sin \(\alpha+\beta \)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha [/math]

Avrai che

[math] \sin\(60+45\)=\sin60\cos45+\sin45\cos60= \\ = \frac{\sqrt3}{2}\frac{\sqrt2}{2}+\frac12\frac{\sqrt2}{2}= \frac{\sqrt2}{2}\(\frac{sqrt3+1}{2}\) [/math]

e dunque ricavi DC e il perimetro