Problema (48820)

[crazy_siren]

Mi aiutereste a risolvere questo problema?

Data la funzione

[math]y=\frac{2x - 1}{x + 2}[/math]

tracciarne il grafico. (e questo l'ho fatto).
Per quali valori di m la curva incontra la retta y=mx + 4
(e ho fatto anche questi...

[math]m < \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} V m> \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}[/math]

)

Ora arriva la parte che non so fare: se M e M' sono i punti di intersezione e P è il punto medio del segmento MM', trovare il luogo del punto P al variare di m.



Grazie mille per l'aiuto

[adry105]

Non so se è giusto però a primo intuito penso che ti debba trovare i punti di intersezione M e M' generici (in cui figura m, che è variabile) mettendo ad intersezione la funzione e la retta generica e poi trovarti (sempre in modo generico, avendo M e M') il punto P, che non è altro che il punto medio tra i punti M e M'! :)

[BIT5]

Troviamo i punti di intersezione tra la funzione e il fascio di rette:

[math] \{ y= \frac{2x-1}{x+2} \\ y= mx+4 [/math]

Da cui, per confronto, avremo:

[math] mx+4= \frac{2x-1}{x+2} \to (mx+4)(x+2)=2x-1 \to mx^2+2mx+4x+8=2x-1 [/math]

E dunque

[math] mx^2+2x(m+1)+9=0 [/math]

che ha soluzioni (usando la ridotta) per

[math] x= -(m+1) \pm \sqrt{(m+1)^2-9} [/math]

ovvero per

[math] x_1=- (m+1) + \sqrt{m^2+2m-8} [/math]

[math] x_2=-(m+1) - \sqrt{m^2+2m-8} [/math]

E dunque i punti M e M' appartenenti alla retta (e alla funzione) daranno come ordinate:

[math] y_M= m(-(m+1)+ \sqrt{m^2+2m-8})-8 [/math]

e

[math] y_{M'}= m(-(m+1)- \sqrt{m^2+2m-8})-8 [/math]

E pertanto l'ascissa del punto medio P sara' sempre

[math] x_P= \frac{x_M+x_{M'}}{2} = \frac{-m-1+\sqrt{m^2+2m-8}-m-1-\sqrt{m^2+2m-8}}{2} = -m-1 [/math]

Da cui otteniamo che

[math] x_P=-m-1 \to m=-x_P-1 [/math]

Mentre l'ordinata

[math] y_P= \frac{m(-(m+1)+ \sqrt{m^2+2m-8})-8 + m(-(m+1)- \sqrt{m^2+2m-8})-8}{2} [/math]

Ovvero

[math] y_P= \frac{-m^2-m+m\sqrt{m^2+2m-8}-8-m^2-m-m\sqrt{m^2+2m-8}-8}{2} [/math]

E dunque

[math] y_P= \frac{-m^2-m-8-m^2-m-8}{2}=-m^2-m-8 [/math]

E quindi sostituendo a m il corrispondente in funzione di x otteniamo

[math] y_P= -(-x_P-1)^2-(-x_P-1)-8 \to y_P=-(x_P^2+2x_P+1)+x_P+1-8 = -x_P^2-x_P-8 [/math]

Pertanto il luogo cercato sara'

[math] y=-x^2-x-8 [/math]

che e' una parabola

Aggiunto 2 ore 10 minuti più tardi:

Il problema poteva anche essere risolto in maniera piu' veloce, senza tutti questi calcoli.

Data l'equazione di secondo grado:

[math] mx^2+2x(m+1)+9 [/math]

Dobbiamo trovare l'ascissa del punto medio delle due soluzioni generiche, ovvero

[math] x_P= \frac{x_1+x_2}{2} [/math]

Ricordiamo che la somma delle soluzioni di un'equazione di secondo grado e' sempre:

[math] x_1+x_2=- \frac{b}{a} [/math]

Infatti in generale, le soluzioni sono sempre

[math] x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} [/math]

E pertanto la somma

[math] \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-2b}{2a}=- \frac{b}{a} [/math]

Pertanto nell'essercizio

[math] x_M+x_{M'}=- 2(m+1) [/math]

e il punto medio dunque

[math] - (m+1) [/math]

analogamente essendo

[math] y_M+y_{M'}=mx_M-8+m_x_{M'}-8=m \( x_M+x_{M'} \)-16 [/math]

Avremmo ricavato yM+yM' e quindi l'ordinata del punto medio..

Avremmo cosi' risparmiato tempo per i calcoli limitando anche la possibilita' di errori :)