Problema (46042)

[natostanco]

Il punto N descrive una semicirconferenza di diametro AB=4 e sia H la proiezione di N su AB. Porre AN=x
a) Studiare la variazione della funzione y=AN-AH e rappresentarla. Determinare la tangente alla curva nel punto x=0
b)trovare i valori di x per cui si ha y=5/9
utilizzando il grafico, discutere l'equazione y=h essende h la misura di un segmento dato.


la parte che non riesco a risolvere e' la prima...come si trova AH in funzione di AN?

Aggiunto 1 giorni più tardi:

caspita che metodo lungo! riflettendoci su io l'avevo fatto con il primo teorema di euclide :D
pero' questo mi servira' sicuramente a ripetermi trigoniometria sisi :)
grazie!

[ciampax]

Osserva la figura: il triangolo OAN è isoscele sulla base AN in quanto OA=ON=r=2 che è il raggio della semicirconferenza. Inoltre, il segmento AN=x soddisfa questa disuguaglianza:

[math]0\leq x\leq 4[/math]

in quanto i valori minimi e massimi che può assumere sono 0 (quando N e A coincidono) e 4 (quando N coincide con B). Detto questo, osserva che

[math]\gamma+2\alpha=\pi\ \Rightarrow\ \alpha=\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2}[/math]

Ora, per trovare

[math]\gamma[/math]

puoi usare la formula di Carnot: abbiamo

[math]AN^2=ON^2+OA^2-2 ON OA\cos\gamma\\
x^2=4+4-8\cos\gamma\ \Rightarrow\ \cos\gamma=1-\frac{x^2}{8}[/math]

Per determinare AH usiamo allora la trigonometria: visto che ANH è rettangolo con ipotenusa AN, si ha

[math]AH=x\cos\alpha=x\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2}\right)=[/math]

essendo

[math]\cos(\pi/2-\theta)=\sin\theta[/math]

[math]=x\sin\frac{\gamma}{2}=[/math]

usando la formula di bisezione

[math]\sin(\theta/2)=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}[/math]

[math]=x\sqrt{\frac{1-\cos\gamma}{2}}=x\sqrt{\frac{x^2}{16}}=\frac{x^2}{4}[/math]

e quindi la tua funzione è

[math]y=x-\frac{x^2}{4}[/math]

che risulta una parabola.

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Bé, non ce mai una sola soluzione per questo tipo di problemi. Ad esempio, io ne ho fatta una in cui usavo la geometria analitica al posto della trigonometria. Ci possono essere soluzioni semplici o complesse, eleganti o macchinose, l'importante è pervenire al risultato in maniera coerente.