Problema (39281)

[silber]

non so dove mettere le mani, please help me.

Data una semicirconferenza di diametro AC = 2r e centro 0, tracciare la semiretta uscente da A, perpendicolare ad AC e giacente rispetto ad AC dalla stessa parte della semicirconferenza. Detto M un punto generico su tale semiretta, indicare con x la distanza di M da A.
Da M staccare l'ulteriore tangente in B alla semicirconferenza.
Detta K l’intersezione della semicirconferenza con il segmento OM, determinare l'area y del quadrilatero ACBK in funzione di x.
Determinare il valore di y per x tendente a ∞

[BIT5]

sicuro che l'ulteriore tangente in B debba staccare da A e non da M?

[silber]

sicuro che l'ulteriore tangente in B debba staccare da A e non da M?

hai ragione te, errore di battitura...perdonatemi ora correggo :box

un ultima cosa: non se si legge la tendenza deve essere a più infinito...

[BIT5]

E' parecchio lungo

te ne posto un pezzo per volta

[silber]

ok grazie :wink:

[BIT5]

Per prima cosa dobbiamo:

considerare da un punto esterno (in questo caso M) ai punti di tangenza ad una circonferenza, la distanza e' uguale.

Pertanto AM=MB=x

Poi:

unisci A e B (i punti di tangenza). La corda che unisce i punti di tangenza e' sempre perpendicolare al segmento che unisce il punto esterno (M) al raggio, inoltre e' anche asse del segmento

Chiama P il punto di intersezione tra AB e MO e ricordati che queste due rette sono perpendicolari, e che PA=PB (MO e' asse di AB)

Troviamo la lunghezza MO, ipotenusa del triangolo rettangolo AOM, con il teorema di Pitagora:

[math] MO= \sqrt{x^2+r^2} [/math]

Ora dovremmo crecare di capire, come vogliamo arrivare a calcolare l'area del quadrilatero.
Io ho pensato di fare cosi':

Area del triangolo ABC (che essendo inscritto in una semicirconferenza e' senz'altro rettangolo in B) + area del triangolo ABK.

Per trovare l'area di ABK mi occorrono dunque la base AB e l'altezza KH.

Diamo uno sguardo veloce ai triangoli rettangoli a nostra disposizione:

AMO e' rettangolo;
MPA e' rettangolo, inoltre condivide l'angolo in M con il triangolo AMO pertanto e' simile a questo (di cui conosciamo tutti i lati)
AOH e' rettangolo e condivide con il triangolo AMO l'angolo in O, pertanto anche questi due triangoli sono simili.

Del triangolo APO conosco l'ipotenusa (AO=r)

Quindi per similitudine con AMO posso trovare OP e AP.

[math] AP : MO = OP: AO [/math]

da cui

[math] OP= AO^2 / MO = \frac{r^2}{ \sqrt{x^2+r^2} [/math]

e

[math] AO:MO=AP:MA [/math]

e quindi

[math] AP= \frac{MA \cdot AO}{MO}= \frac{xr}{\sqrt{x^2+r^2} [/math]

Quindi siccome AB=2AP, avremo che

[math] \bar{AB}= \frac{2xr}{\sqrt{x^2+r^2}} [/math]

(e abbiamo la base del triangolo ABK)

l'altezza di questo triangolo e' KP=KO-OP (KO e' il raggio)

quindi

[math] \bar{KP}= r - \frac{r^2}{\sqrt{x^2+r^2}} = \frac{r \sqrt{x^2+r^2}-r^2}{ \sqrt{x^2+r^2}} [/math]

L'area di questo triangolo sara' dunque

[math] \frac12 \bar{AB} \cdot \bar{KP}= \frac12 \frac{2xr}{\sqrt{x^2+r^2}}\frac{r \sqrt{x^2+r^2}-r^2}{ \sqrt{x^2+r^2}}= \\ = \frac{xr^2 \sqrt{x^2+r^2}-xr^3}{x^2+r^2} [/math]

a cui aggiungeremo l'area di ABC che ha:

ipotenusa: 2r

cateto

[math] AB= \frac{2xr}{\sqrt{x^2+r^2}} [/math]

e pertanto come cateto BC:

[math] BC= \sqrt{ 4r^2- \frac{4x^2r^2}{x^2+r^2}} = \sqrt{\frac{4r^4}{x^2+r^2}} = \frac{2r^2}{ \sqrt{x^2+r^2}}[/math]

L'area di ABC sara' dunque

[math] \frac12 \frac{2r^2}{ \sqrt{x^2+r^2}} \frac{2xr}{\sqrt{x^2+r^2}}= \frac{2xr^3}{x^2+r^2} [/math]

L'area totale del quadrilatero sara' dunque

[math] \frac{xr^2 \sqrt{x^2+r^2}-xr^3}{x^2+r^2} + \frac{2xr^3}{x^2+r^2}= \frac{xr^2( \sqrt{x^2+r^2}+r}{x^2+r^2}[/math]

calcoliamone il limite

[math] \lim_{x \to + \infty} \ \frac{xr^2( \sqrt{x^2+r^2}+r)}{x^2+r^2} = \\ = \frac{xr^2( \sqrt{x^2(1- \frac{r^2}{x^2})}+r)}{x^2(1+ \frac{r^2}{x^2})} [/math]

Sapendo che per x che tende a infinito, le frazioni con x al denominatore tendono a zero, avremo

[math] \lim_{x \to + \infty} \frac{xr^2( \sqrt{x^2} + r)}{x^2} = \frac{xr^2(x+r)}{x^2}= \\ = \frac{x^2r^2+xr^3}{x^2}= \frac{x^2(r^2+ \frac{r^3}{x})}{x^2}=r^2 [/math]

.