Problema

[cinzclock]

dato un triangolo equilatero si prenda un punto p al suo interno e siano x,y,z le distanze di p dai lati.La somma x+y+z risulta:
a)sempre >dell' altezza del triangolo
b)sempre <....
c)sempre=
motiva lascelta...

[G.D.5]

Con riferimento alla figura sotto riportata



si tenga conto del fatto che, essendo il triangolo equilatero, si avrà che $AC=AB=BC$. Detto ciò, sia $P$ un qualunque punto interno al triangolo: siano $PH, PK, PI$ le perpendicolari condotte rispettivamente su $AB, BC, AC$.

Si unisca $P$ con ciascuno dei vertici del triangolo, ottenendo i tre triangoli $ABP, BPC, ACP$; l'area di ciascuno di essi vale

$A(ABP)=PH*AB*1/2$

$A(BCP)=PK*BC*1/2$

$A(ACP)=PI*AC*1/2$

e sommando membro a membro si ha

$A(ABP)+A(BCP)+A(ACP)=PH*AB*1/2+PK*BC*1/2+PI*AC*1/2$

Tenendo conto del fatto che $A(ABP)+A(BCP)+A(ACP)=A(ABC)=AB*h*1/2$ ove $h$ è l'altezza del triangolo equilatero dato, e ricordando che $AB=AC=BC$ si ha

$A(ABP)+A(BCP)+A(ACP)=PH*AB*1/2+PK*BC*1/2+PI*AC*1/2 => AB*h*1/2=AB*(PH+PK+PI)*1/2 => h=PH+PK+PI$.