Problema
Qualcuno può aiutarmi a risolvere questo problema? Grazie.
data una semicirconferenza di diametro AC=2r e centro O, partendo da A si tracci la semiretta perpendicolare ad AC, giacente dalla stessa parte della semicirconferenza. Da un punto M della semiretta, ponendo AM=x, tracciare la tangente alla semicirconferenza in B. Sia K il punto d'intersezione della semicirconferenza con OM. Determinare l'area y del quadrilatero ACBK in funzione di x.
data una semicirconferenza di diametro AC=2r e centro O, partendo da A si tracci la semiretta perpendicolare ad AC, giacente dalla stessa parte della semicirconferenza. Da un punto M della semiretta, ponendo AM=x, tracciare la tangente alla semicirconferenza in B. Sia K il punto d'intersezione della semicirconferenza con OM. Determinare l'area y del quadrilatero ACBK in funzione di x.
Risposte
Provo io, vedi se và....
allora, dalla geometria elementare è noto che se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono le due tangenti a una circonferenza, allora i segmenti staccati su queste tangenti che hanno come estremi il punto esterno e i punti di contatto sono uguali...il altri termini, nel nostro caso si ha $AM=x=BM$. Inoltre la congiungente del punto esterno col centro della circonferenza è bistettrice dell'angolo convesso determinato nel piano dalle tangenti: nel nostro caso dunque $A\hat{M}O=O\hat{M}B$, chiamiamo $\alpha$ questi due angoli. I tringoli $OAM$ e $OBM$ sono entrambi retti e in entrambi c'è l'angolo $\alpha$: gli angoli$A\hat{O}M$ e $M\hat{O}B$ sono complementari dello stesso angolo e quindi uguali; li chiamiamo $\beta$. $OM$ si trova con Pitagora: $OM=\sqrt{r^2+x^2}$; applicando le definizioni $sen$ e $cos$ nel triangolo rettangolo $AOM$ si trova che $sen\beta=\frac{x}{\sqrt{r^2+x^2}}$ e $cos\beta=\frac{r}{\sqrt{r^2+x^2}}$; segue che l'area di $AOBK$, che è l'area di $AOK+OKB=2AOK=2OKB$, è $\frac{r^2x}{\sqrt{r^2+x^2}}$. L'angolo $C\hat{O}B$ è supplementare di $A\hat{O}K+k\hat{O}B=2\beta$, quindi il suo $sen$ è il $sen$ di $2\beta$: segue che l'area di $COB$ è $\frac{r^5x}{r^2+x^2}$. Sommando le aree ottenute, razionalizzando e semplificando, segue che l'area cercata è (almeno credo): $y=\frac{r^2x(\sqrt{r^2+x^2}+r^3)}{r^2+x^2}$
ciao
allora, dalla geometria elementare è noto che se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono le due tangenti a una circonferenza, allora i segmenti staccati su queste tangenti che hanno come estremi il punto esterno e i punti di contatto sono uguali...il altri termini, nel nostro caso si ha $AM=x=BM$. Inoltre la congiungente del punto esterno col centro della circonferenza è bistettrice dell'angolo convesso determinato nel piano dalle tangenti: nel nostro caso dunque $A\hat{M}O=O\hat{M}B$, chiamiamo $\alpha$ questi due angoli. I tringoli $OAM$ e $OBM$ sono entrambi retti e in entrambi c'è l'angolo $\alpha$: gli angoli$A\hat{O}M$ e $M\hat{O}B$ sono complementari dello stesso angolo e quindi uguali; li chiamiamo $\beta$. $OM$ si trova con Pitagora: $OM=\sqrt{r^2+x^2}$; applicando le definizioni $sen$ e $cos$ nel triangolo rettangolo $AOM$ si trova che $sen\beta=\frac{x}{\sqrt{r^2+x^2}}$ e $cos\beta=\frac{r}{\sqrt{r^2+x^2}}$; segue che l'area di $AOBK$, che è l'area di $AOK+OKB=2AOK=2OKB$, è $\frac{r^2x}{\sqrt{r^2+x^2}}$. L'angolo $C\hat{O}B$ è supplementare di $A\hat{O}K+k\hat{O}B=2\beta$, quindi il suo $sen$ è il $sen$ di $2\beta$: segue che l'area di $COB$ è $\frac{r^5x}{r^2+x^2}$. Sommando le aree ottenute, razionalizzando e semplificando, segue che l'area cercata è (almeno credo): $y=\frac{r^2x(\sqrt{r^2+x^2}+r^3)}{r^2+x^2}$
ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo