Problema
Ciao a tutti. Sto risolvendo questo problema di Geometria Analitica, che è abbastanza semplice, però ci sono alcune cose che me lo rendono difficile. Il problema è questo: Calcolare perimetro e Area del triangolo ABC; sapendo che A ha coordinate 2,3; B -2,5 e C 3,-2. Naturalmente per prima cosa mi sono trovato la distanza tra AB, BC e AC. Allora AB= Radice di 20, BC= Radice di 74 (quindi 2 rad di 5) e AC = Radice di 26. Quindi mi dovrei calcolare il perimetro, poi per quanto riguarda l'area dovrei calcolarmi l'altezza. Solo che non ricordo in quali casi bisogna trovare l'altezza facendo il punto medio della base e poi la distanza tra i punti e in quali casi trovarmi l'equazione della base per poi fare la distanza punto retta. Vorrei sottolineare che ho dei problemi con questo esercizio perchè purtroppo negli anni passati i radicali non sono stati mai spiegati come si deve. Quindi sarei lieto di sapere in questi casi se si deve scomporre (cioè mettere qualcosa fuori radice) qualche radicale. Lo so, le mie richieste sono eccessive, quindi ringrazio anticipatamente chi mi aiuterà. Grazie & Ciao. 
Risposte
smemo89 puoi anche usare la nota formula di erone per clacolare l'area conoscendo la lunghezza dei lati:
$A=sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]$ dove p è il SEMIperimetro, e a,b e c le misure dei tre lati....
ciao
$A=sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]$ dove p è il SEMIperimetro, e a,b e c le misure dei tre lati....
ciao
"smemo89":
Ciao a tutti. Sto risolvendo questo problema di Geometria Analitica, che è abbastanza semplice, però ci sono alcune cose che me lo rendono difficile. Il problema è questo: Calcolare perimetro e Area del triangolo ABC; sapendo che A ha coordinate 2,3; B -2,5 e C 3,-2. Naturalmente per prima cosa mi sono trovato la distanza tra AB, BC e AC. Allora AB= Radice di 20, BC= Radice di 74 (quindi 2 rad di 5) e AC = Radice di 26. Quindi mi dovrei calcolare il perimetro, poi per quanto riguarda l'area dovrei calcolarmi l'altezza. Solo che non ricordo in quali casi bisogna trovare l'altezza facendo il punto medio della base e poi la distanza tra i punti e in quali casi trovarmi l'equazione della base per poi fare la distanza punto retta. Vorrei sottolineare che ho dei problemi con questo esercizio perchè purtroppo negli anni passati i radicali non sono stati mai spiegati come si deve. Quindi sarei lieto di sapere in questi casi se si deve scomporre (cioè mettere qualcosa fuori radice) qualche radicale. Lo so le mie richieste sono eccessive, quindi ringrazio anticipatamente chi mi aiuterà. Grazie & Ciao.
$A=(2,3)$, $B=(-2,5)$, $C=(3,-2)$
Mi trovo con le distanze: $AB=2sqrt(5)$, $AC=sqrt(26)$, $BC=sqrt(74)$
Già basterebbe per conoscere l'area , potresti applicare la formula di Erone
$A=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$ dove $p$ è il semiperimetro ed $a,b,c$ sono i lati. Dal punto di vista della geometria analitica, devi individuare l'altezza e quindi la sua misura.
Supponi che $A$ sia il vertice. L'altezza $AH$ passa per $A$ ed è perpendicolare a $BC$.
La retta $BC$ ha equazione $y=-7/5*x+11/5$, per cui il coefficiente angolare dell'altezza $AH$ è $m=5/7$ e tale retta è:
$y-3=5/7*(x-2)$ cioè $y=5/7*x+11/7$. Per calcolare il piede dell'altezza allora va risolto il sistema
${( y=-7/5*x+11/5),(y=5/7*x+11/7):}$ da cui ${(x=+11/37),(y=66/37):}$
Ora $AH=sqrt((2-11/37)^2+(3-66/37)^2)=9/37*sqrt(74)$
Per cui l'area è $(AH*BC)/2=(9/37*sqrt(74)*sqrt(74))/2=9$
Analogo risultato ottieni con Erone.
"jack":
smemo89 puoi anche usare la nota formula di erone per clacolare l'area conoscendo la lunghezza dei lati:
$A=sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]$ dove p è il SEMIperimetro, e a,b e c le misure dei tre lati....
ciao
Ti Rinfrazio, però a questo teorema ancora non siamo ancora arrivati e quindi anche se mi sembra abbastanza semplice, poichè si fanno meno passaggi, per ora non lo posso usare. Comunque Grazie & Ciao.
"nicasamarciano":
$A=(2,3)$, $B=(-2,5)$, $C=(3,-2)$
Mi trovo con le distanze: $AB=2sqrt(5)$, $AC=sqrt(26)$, $BC=sqrt(74)$
Già basterebbe per conoscere l'area , potresti applicare la formula di Erone
$A=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$ dove $p$ è il semiperimetro ed $a,b,c$ sono i lati. Dal punto di vista della geometria analitica, devi individuare l'altezza e quindi la sua misura.
Supponi che $A$ sia il vertice. L'altezza $AH$ passa per $A$ ed è perpendicolare a $BC$.
La retta $BC$ ha equazione $y=-7/5*x+11/5$, per cui il coefficiente angolare dell'altezza $AH$ è $m=5/7$ e tale retta è:
$y-3=5/7*(x-2)$ cioè $y=5/7*x+11/7$. Per calcolare il piede dell'altezza allora va risolto il sistema
${( y=-7/5*x+11/5),(y=5/7*x+11/7):}$ da cui ${(x=+11/37),(y=66/37):}$
Ora $AH=sqrt((2-11/37)^2+(3-66/37)^2)=9/37*sqrt(74)$
Per cui l'area è $(AH*BC)/2=(9/37*sqrt(74)*sqrt(74))/2=9$
Analogo risultato ottieni con Erone.
Ciao, ma quindi il perimetro è $2sqrt(5) + sqrt(26) + sqrt(74)$ ? Cioè non si puo sommare niente? E inoltre l'altro metodo per trovare l'area (quella del punto medio) con quali triangoli si usa? Comunque Grazie & Ciao.
"smemo89":
[quote="nicasamarciano"]
$A=(2,3)$, $B=(-2,5)$, $C=(3,-2)$
Mi trovo con le distanze: $AB=2sqrt(5)$, $AC=sqrt(26)$, $BC=sqrt(74)$
Già basterebbe per conoscere l'area , potresti applicare la formula di Erone
$A=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$ dove $p$ è il semiperimetro ed $a,b,c$ sono i lati. Dal punto di vista della geometria analitica, devi individuare l'altezza e quindi la sua misura.
Supponi che $A$ sia il vertice. L'altezza $AH$ passa per $A$ ed è perpendicolare a $BC$.
La retta $BC$ ha equazione $y=-7/5*x+11/5$, per cui il coefficiente angolare dell'altezza $AH$ è $m=5/7$ e tale retta è:
$y-3=5/7*(x-2)$ cioè $y=5/7*x+11/7$. Per calcolare il piede dell'altezza allora va risolto il sistema
${( y=-7/5*x+11/5),(y=5/7*x+11/7):}$ da cui ${(x=+11/37),(y=66/37):}$
Ora $AH=sqrt((2-11/37)^2+(3-66/37)^2)=9/37*sqrt(74)$
Per cui l'area è $(AH*BC)/2=(9/37*sqrt(74)*sqrt(74))/2=9$
Analogo risultato ottieni con Erone.
Ciao, ma quindi il perimetro è $2sqrt(5) + sqrt(26) + sqrt(74)$ ? Cioè non si puo sommare niente? E inoltre l'altro metodo per trovare l'area (quella del punto medio) con quali triangoli si usa? Comunque Grazie & Ciao.
[/quote]1)non si può sommare nulla
2) per triangoli isosceli o equilateri il piede dell'altezza è il punto medio della base. Per gli altri devi fare i calcoli che ti ho fatto. Il tuo triangolo non è ne equilatero ne isoscele
Un suggerimento è quello di provare a ragionare con Pitagora
Ok, Grazie a tutti per l'interessamento che mi avete mostrato e Grazie soprattutto per l'aiuto preziosissimo che mi avete offerto. Ancora Grazie e Ciao a tutti quelli che mi hanno aiutato.
"nicasamarciano":
$A=(2,3)$, $B=(-2,5)$, $C=(3,-2)$
Mi trovo con le distanze: $AB=2sqrt(5)$, $AC=sqrt(26)$, $BC=sqrt(74)$
Già basterebbe per conoscere l'area , potresti applicare la formula di Erone
$A=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$ dove $p$ è il semiperimetro ed $a,b,c$ sono i lati. Dal punto di vista della geometria analitica, devi individuare l'altezza e quindi la sua misura.
Supponi che $A$ sia il vertice. L'altezza $AH$ passa per $A$ ed è perpendicolare a $BC$.
La retta $BC$ ha equazione $y=-7/5*x+11/5$, per cui il coefficiente angolare dell'altezza $AH$ è $m=5/7$ e tale retta è:
$y-3=5/7*(x-2)$ cioè $y=5/7*x+11/7$. Per calcolare il piede dell'altezza allora va risolto il sistema
${( y=-7/5*x+11/5),(y=5/7*x+11/7):}$ da cui ${(x=+11/37),(y=66/37):}$
Ora $AH=sqrt((2-11/37)^2+(3-66/37)^2)=9/37*sqrt(74)$
Per cui l'area è $(AH*BC)/2=(9/37*sqrt(74)*sqrt(74))/2=9$
Analogo risultato ottieni con Erone.
Scusate ma non ho capito solo una cosa: perchè una volta trovata l'equazione della base, questa deve essere passata dalla formula implicita a quella esplicita? E poi perchè mi devo calcolare il coefficente angolare dell'altezza (ma poi questo coefficiente angolare è l'antireciproco oppure no?). Ringrazio tutti anticipatamente per l'aiuto che mi offrirete.
"smemo89":
[quote="nicasamarciano"]
$A=(2,3)$, $B=(-2,5)$, $C=(3,-2)$
Mi trovo con le distanze: $AB=2sqrt(5)$, $AC=sqrt(26)$, $BC=sqrt(74)$
Già basterebbe per conoscere l'area , potresti applicare la formula di Erone
$A=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$ dove $p$ è il semiperimetro ed $a,b,c$ sono i lati. Dal punto di vista della geometria analitica, devi individuare l'altezza e quindi la sua misura.
Supponi che $A$ sia il vertice. L'altezza $AH$ passa per $A$ ed è perpendicolare a $BC$.
La retta $BC$ ha equazione $y=-7/5*x+11/5$, per cui il coefficiente angolare dell'altezza $AH$ è $m=5/7$ e tale retta è:
$y-3=5/7*(x-2)$ cioè $y=5/7*x+11/7$. Per calcolare il piede dell'altezza allora va risolto il sistema
${( y=-7/5*x+11/5),(y=5/7*x+11/7):}$ da cui ${(x=+11/37),(y=66/37):}$
Ora $AH=sqrt((2-11/37)^2+(3-66/37)^2)=9/37*sqrt(74)$
Per cui l'area è $(AH*BC)/2=(9/37*sqrt(74)*sqrt(74))/2=9$
Analogo risultato ottieni con Erone.
Scusate ma non ho capito solo una cosa: perchè una volta trovata l'equazione della base, questa deve essere passata dalla formula implicita a quella esplicita? E poi perchè mi devo calcolare il coefficente angolare dell'altezza (ma poi questo coefficiente angolare è l'antireciproco oppure no?). Ringrazio tutti anticipatamente per l'aiuto che mi offrirete.
[/quote]Il tuo scopo è calcolarti l'altezza $AH$. Per poterla calcolare hai bisogno di individuare il piede dell'altezza, visto che $A$ è noto. Il piede dell'altezza è dato dall'intersezione dell'altezza con la base. L'altezza è ovviamente perpendicolare alla base quindi ha coèfficiente angolare pari a $-1/m$ con $m$ coefficiente angolare della base. Una volta determinata l'equazione dell'altezza, la si interseca con quella della base e così si ottiene il punto $H$ da cui si ricava con la regola della distanza tra due punti la misura dell'altezza $AH$.
Chiaro?
"nicasamarciano":
Il tuo scopo è calcolarti l'altezza $AH$. Per poterla calcolare hai bisogno di individuare il piede dell'altezza, visto che $A$ è noto. Il piede dell'altezza è dato dall'intersezione dell'altezza con la base. L'altezza è ovviamente perpendicolare alla base quindi ha coèfficiente angolare pari a $-1/m$ con $m$ coefficiente angolare della base. Una volta determinata l'equazione dell'altezza, la si interseca con quella della base e così si ottiene il punto $H$ da cui si ricava con la regola della distanza tra due punti la misura dell'altezza $AH$.
Chiaro?
Ok, ora questo mi è chiaro. Però ora mi è sorto un altro problema: trovando la distanza tra il punto A e H mi è venuto fuori $sqrt(162/37)$, però come ti ho già ti ho detto ho poca dimestichezza con i radicali e quindi vorrei sapere come questo diventa $9/37 sqrt(74)$ e poi come $(9/37*sqrt(74)*sqrt(74))/2$ diventa 9. Grazie.
"smemo89":
[quote="nicasamarciano"]
Il tuo scopo è calcolarti l'altezza $AH$. Per poterla calcolare hai bisogno di individuare il piede dell'altezza, visto che $A$ è noto. Il piede dell'altezza è dato dall'intersezione dell'altezza con la base. L'altezza è ovviamente perpendicolare alla base quindi ha coèfficiente angolare pari a $-1/m$ con $m$ coefficiente angolare della base. Una volta determinata l'equazione dell'altezza, la si interseca con quella della base e così si ottiene il punto $H$ da cui si ricava con la regola della distanza tra due punti la misura dell'altezza $AH$.
Chiaro?
Ok, ora questo mi è chiaro. Però ora mi è sorto un altro problema: trovando la distanza tra il punto A e H mi è venuto fuori $sqrt(162/37)$, però come ti ho già ti ho detto ho poca dimestichezza con i radicali e quindi vorrei sapere come questo diventa $9/37 sqrt(74)$ e poi come $(9/37*sqrt(74)*sqrt(74))/2$ diventa 9. Grazie.
[/quote]Allora:
$162=2*81=2*9^2$ per cui $sqrt(162)=sqrt(2)*sqrt(9^2)=9sqrt(2)$
Per cui $sqrt(162/37)=9sqrt(2/37)$ e moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt(37)$ (cioè razionalizzando) si ha
$sqrt(162/37)=(9sqrt(2)*sqrt(37))/(sqrt(37)*sqrt(37))=(9sqrt(2*37)/37)=9sqrt(74)/37$
Ora $A=(9sqrt(74)/37*sqrt(74))/2$
Ma $sqrt(74)*sqrt(74)=74$ per cui
$A=(9sqrt(74)/37*sqrt(74))/2=(9*74)/(37*2)=9$
chiaro?
"nicasamarciano":
Allora:
$162=2*81=2*9^2$ per cui $sqrt(162)=sqrt(2)*sqrt(9^2)=9sqrt(2)$
Per cui $sqrt(162/37)=9sqrt(2/37)$ e moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt(37)$ (cioè razionalizzando) si ha
$sqrt(162/37)=(9sqrt(2)*sqrt(37))/(sqrt(37)*sqrt(37))=(9sqrt(2*37)/37)=9sqrt(74)/37$
Ora $A=(9sqrt(74)/37*sqrt(74))/2$
Ma $sqrt(74)*sqrt(74)=74$ per cui
$A=(9sqrt(74)/37*sqrt(74))/2=(9*74)/(37*2)=9$
chiaro?
L'ultima moltiplicazione si, però la prima cosa no. Infatti io facendo la scomposizione di 162 mi è venuto fuori $2*3^4$ anche se facendo i conti anche $2*81$ è sicuramente esatto. E poi, purtroppo, non ho capito molto bene tutta questa parte (invece la moltiplicazione finale è ok). Lo so, sto approfittando della tua enorme pazienza, ma purtroppo sono carente nei radicali e sto cercando di recuperare.
Allora alla fine il problema mi è venuto, poichè mi sono usciti i tuoi stessi risultati. Però ho fatto in maniera diversa e volevo un tuo parere: Dopo avermi trovato il perimetro, per l'area la prima cosa che ho fatto è stata quella di trovarmi l'equazione della base (BC), poi ho fatto la distanza punto A - retta (BC) e mi sono trovato l'altezza che è uguale a $18/ sqrt (74)$ . Poi ho fatto $(b*h)/2$ e mi è venuto fuori 9. Quindi va bene lo stesso?
"smemo89":
[quote="nicasamarciano"]
Allora:
$162=2*81=2*9^2$ per cui $sqrt(162)=sqrt(2)*sqrt(9^2)=9sqrt(2)$
Per cui $sqrt(162/37)=9sqrt(2/37)$ e moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt(37)$ (cioè razionalizzando) si ha
$sqrt(162/37)=(9sqrt(2)*sqrt(37))/(sqrt(37)*sqrt(37))=(9sqrt(2*37)/37)=9sqrt(74)/37$
Ora $A=(9sqrt(74)/37*sqrt(74))/2$
Ma $sqrt(74)*sqrt(74)=74$ per cui
$A=(9sqrt(74)/37*sqrt(74))/2=(9*74)/(37*2)=9$
chiaro?
L'ultima moltiplicazione si, però la prima cosa no. Infatti io facendo la scomposizione di 162 mi è venuto fuori $2*3^4$ anche se facendo i conti anche $2*81$ è sicuramente esatto. E poi, purtroppo, non ho capito molto bene tutta questa parte (invece la moltiplicazione finale è ok). Lo so, sto approfittando della tua enorme pazienza, ma purtroppo sono carente nei radicali e sto cercando di recuperare.
[/quote]Innanzitutto $9^2=(3^2)^2=3^4$ per cui $162=2*9^2=2*3^4$
Ma saprai che se prendiamo due numeri $a>=0,b>=0$ allora $sqrt(a*b)=sqrt(a)*sqrt(b)$
Quindi $sqrt(162)=sqrt(2)*sqrt(9^2)$.
Ma saprai che se $a$ è un numero $sqrt(a^2)=(a^2)^(1/2)=a$ , per cui
$sqrt(162)=sqrt(2)*sqrt(9^2)=sqrt(2)*9$
Poi sia che $AA a>0$ $1/sqrt(a)=sqrt(a)/a$ per cui $1/sqrt(37)=sqrt(37)/37$. In conclusione
$sqrt(162/37)=sqrt(162)*1/sqrt(37)=9*sqrt(2)*(sqrt(37)/37)=9sqrt(2*37)/37=9sqrt(74)/37$
Più chiaro di così non mi so spiegare, altrimenti un qualsiasi libro di secondo liceo potrà anzi sarà nmolto più utile di questa mia spiegazione.
"smemo89":
Allora alla fine il problema mi è venuto, poichè mi sono usciti i tuoi stessi risultati. Però ho fatto in maniera diversa e volevo un tuo parere: Dopo avermi trovato il perimetro, per l'area la prima cosa che ho fatto è stata quella di trovarmi l'equazione della base (BC), poi ho fatto la distanza punto A - retta (BC) e mi sono trovato l'altezza che è uguale a $18/ sqrt (74)$ . Poi ho fatto $(b*h)/2$ e mi è venuto fuori 9. Quindi va bene lo stesso?
è una soluzione addirittura migliore della mia: mi ero dimenticata la cara formula della distanza $|ax_0+by_0+c|/sqrt(a^2+b^2)$ di un punto $(x_0,y_0)$ da una retta di equazione $ax+by+c=0$
Ora si che questa parte dei Radicali mi è chiara. Grazie. Se sei stata chiara? Io ti rispondo si e aggiungo più di qualsiasi professore e di qualsiasi libro e grazie al tuo aiuto e alla tua pazienza sono riuscito a risolvere il problema, forse per la prima volta, ragionando. Non ho parole per ringraziarti per l'aiuto preziosissimo che mi hai offerto. Ti saluto. Ancora Grazie & Ciao.
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