Problema

[Matilde37]

Nel triangolo ABC, AH è l'altezza relativa a BC. IL punto H ha cordinate (5/2;1). L'ordinata di A è 2 . l'ascissa di C è 4. Il coefficiente angolare di BC è -1/2. L'area è 15/8.
Quali sono le coordinate di B?

Mi fate anche il disegno?

Vi ringrazio....

Modificato da - matilde il 13/01/2004 17:51:19

[fireball1]

L'altezza AH giace su una retta di coefficiente angolare 2, essendo
AH perpendicolare a BC. Il punto H è quello in cui l'altezza incontra BC.
Perciò, conoscendo il coefficiente angolare, 2, e il punto H possiamo
determinare l'equazione di AH.
(y-1)=2*(x-5/2)
y-1=2x-5
2x-y-4=0
L'ordinata di A vale 2. Sostituiamola nell'equazione di AH:
2x-2-4=0
x=3
Il punto è quindi A(3;2)
Per calcolare l'equazione di BC, il suo coeff. angolare già lo conosciamo (-1/2).
Sappiamo anche le coordinate di H, ulteriore punto che appartiene alla retta BC.
Usiamo allora la stessa formula:
y-1=(-1/2)*(x-5/2)
Si ottiene:
2x+4y-9=0
In forma esplicita:
y=(9-2x)/4
Possiamo ora calcolare l'ordinata di C,
sostituendo la sua ascissa nell'equazione di BC:
8+4y-9=0
y=1/4
Il punto è quindi C(4;1/4)
Resta da calcolare B. Esso, appartenendo alla retta
di equazione 2x+4y-9=0, ha coordinate B[x;(9-2x)/4]
L'altezza AH si può calcolare facilmente con la formula
della distanza punto-punto, e vale rad(5)/2.
La relazione da sfruttare è la seguente, visto che l'area è 15/8:
(1/2)*(rad(5)/2)*BC=15/8
Si ottiene BC=(3/2)*rad(5)
Ora: trovare le coordinate di B significa trovare il punto
della retta y=(9-2x)/4 che dista (3/2)*rad(5) da C e per farlo
basta usare di nuovo la formula distanza punto-punto
e porla uguale a (3/2)*rad(5). Bisogna cioè risolvere la seguente equazione:

Si ottengono 2 soluzioni: x=7 e x=1
Sostituendole in y=(9-2x)/4 si trova che le ordinate di B possono essere
rispettivamente -5/4 e 7/4.
Perciò il punto può essere B(7;-5/4) oppure B(1;7/4)

Ecco un disegno per capire meglio (come vedi, B può avere due diverse posizioni):



Modificato da - fireball il 13/01/2004 19:14:24

[Matilde37]

Gentile fireball,
ho svolto anch'io l'esercizio ma,poichè sotto la radice è presente un quadrato di binomio (x-4)^2 , la radice si elide e si ottiene:
x-4=3/2 * rad5 ...

non mi vengono i tuoi stessi risultati. Dove sbaglio?
Grazie!

[fireball1]

Per risolvere l'equazione, prima devi quadrare primo e secondo membro (tenendo
conto che il radicando sia maggiore di 0... l'ho verificato ed in questo caso è sempre
maggiore di 0, quindi puoi quadrare), in modo da elidere la radice, e poi risolvi.

Modificato da - fireball il 13/01/2004 21:11:21

[publiosulpicio]

Un po' OT, Matilde, in questo caso forse va bene, per le condizioni che hai posto prima, ma ricarditi che sqrt(x^2) non fa x ma |x|... e un errore in cui si incappa molto facilmente.

[Matilde37]

Scusa se insisto ma..
..considerando lo sviluppo finale dell'equazione:
radice di (x^2-8x16)=3/2 rad5
elevo a quadrato e così ottengo:
x^2-8x+16=45/4

sviluppando:
4x^2-32x+19=0
x=+32 + O - radice 1024-304/2

non ottengo una radice perfetta e così non ottego i tuoi risultati...

help

[fireball1]

Matilde, ho verificato persino con Derive la soluzione dell'equazione, estendendo il
campo anche ai numeri complessi, ma le soluzioni coincidono con le mie: x=7 e x=1.

C'è qualcun altro che può intervenire per spiegare a Matilde come si risolve l'equazione?

Modificato da - fireball il 13/01/2004 21:18:48

[Matilde37]

No, fireball non fraintendere non metto in dubbio la tua soluzione, sono io che non trovo l'errore probabile di calcolo che faccio!
Saluti e grazie.
Matilde.

[fireball1]

[Matilde37]

Eh si, più che chiaro!

Non ho parole per ringrarti sia per la bravura sia per la disponibilità.

Matilde.