Problema 2 prova

[Zizzi]

Ciao a tutti, ieri l'altro abbiamo fatto una simulazione di seconda prova e adesso dovrei fare il problema non fatto per domani come esercitazione, ma mi servirebbero le soluzioni per confrontarmi soltanto che non so se si tratta di un problema preso da un vecchio esame di stato e se si di quale..qualcuno puo' aiutarmi? ecco il problema:

In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale sono date le circonferenze Г con centro nell'origine e raggio unitario e la parabola Ω di vertice V(o,-1) che determina insieme all'asse x una regione di area 4/3.

1. Trovare le equazioni di Г e Ω e calcolare l'area di ciascuna delle regioni in cui la parabola divide la circonferenza.

2. Sia P un punto della circonferenza che appartiene al semipiano delle ordinate positive; indicati con A e B i punti di intersezione di Г e Ω oltre al vertice V, esprimere, in funzione dell'ascissa k di P, l'area A(k) della regione di piano delimitata dai segmenti PA e PB insieme con l'arco AB di parabola.

3. ....

4. ...


spero qualcuno possa dirmi di che anno si tratta (se si tratta...)

grazie in anticipo

un saluto a tutti

[ciampax]

Io questo problema lo ricordo, ma dirti di che hanno sia, proprio mi risulta difficile! Comunque, faccio prima a schizzarti i passi della soluzione. Poi magari se scrivi anche gli altri punti ci do' un'occhiata.

1) L'equazione di

[math]\Gamma[/math]

è, banalmente,

[math]x^2+y^2=1[/math]

. Per quanto riguarda la parabola, se la sua equazione generale è

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

allora deve essere

[math]-\frac{b}{2a}=0,\qquad -\frac{\Delta}{4a}=-1[/math]

e quindi

[math]b=0[/math]

e

[math]4ac=-4a[/math]

da cui

[math]c=-1[/math]

. Allora hai

[math]y=ax^2-1[/math]

. Deve essere, ovviamente,

[math]a>0[/math]

, altrimenti la parabola non interseca l'asse delle x. Inoltre, le intersezioni di tale parabola con l'asse x si determinano risolvendo l'eqauzione

[math]ax^2-1=0[/math]

e quindi

[math]x=\pm1/\sqrt{a}[/math]

. A questo punto, per la condizione sull'area deve essere (osserva che devi cambiare il segno della funzione perché altrimenti ottieni un valore negativo)

[math]\frac{4}{3}=\int_{-1/\sqrt{a}}^{1/\sqrt{a}}(-ax^2+1)\ dx=\left[-\frac{a}{3}\ x^3+x\right]_{-1/\sqrt{a}}^{1/\sqrt{a}}[/math]

e quindi

[math]\frac{4}{3}=-\frac{2a}{3}\cdot\frac{1}{a\sqrt{a}}+\frac{2}{\sqrt{a}}=\frac{4}{3\sqrt{a}}[/math]

da cui

[math]a=1[/math]

e la parabola ha equazione

[math]y=x^2-1[/math]

.

Osserva ora che la parabola taglia la circonferenza in due parti (visto che la interseca nei punti (0,-1), (-1,0), (1,0) che sono i "vertici" della circonferenza). Una parte è formata da tutto il semicerchio superiore più l'interno della parabola, mentre l'altra sono due "fette" della circonferenza, di uguale dimensione, tagliate fuori dalla parabola. Le loro aree misurano allora

[math]I=\frac{1}{2}\cdot \pi+\frac{4}{3}[/math]

[math]II=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\pi-\frac{4}{3}\right)[/math]

come puoi verificare facendo un disegno.



2) Per il punto 2, utilizziamo ciò che sappiamo del punto 1. Se indichiamo con

[math]P(k,\sqrt{1-k^2})[/math]

con

[math]-1\leq k\leq 1[/math]

e con

[math]A(-1,0),\ B(1,0)[/math]

, allora l'area della figura cercata è la somma di quella del settore parabolico (che già conosciamo) e del triangolo ABP che è pari a

[math]A_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\sqrt{1-k^2}=\sqrt{1-k^2}[/math]

da cui

[math]A(k)=\frac{4}{3}+\sqrt{1-k^2}[/math]

A questo punto aspetto tue comunicazioni.