Problema
Circoscrivere ad una semicirconferenza di raggio noto $r$, e centro in $O $, un trapezio isoscele di perimetro $2p $;
Indicato i vertici del trapezio con le lettere $A$, $B $, $C $, $D $, in modo che risulti $DC $ la base minore ed $AB$ la base maggiore, inoltre indico con $Q$, il punto medio della base minore $DC$, e con $P$, il punto in cui il lato $AD $ e' tangente alla semicirconferenza, e con $H$ il punto in cui la perpendicolare tracciata dal punto $D $ incontra la base maggiore $AB$;
Osservo che: $PD=DQ$, che $AD=AO$, in quanto queste ultime ipotenuse dei triangoli rettangoli $AHD $ e $OPA $ che risultano essere congruenti essendo ambedue rettangoli, avendo l'angolo in $A $ in comune, ed avendosi $OP=DH=r $;
fatto queste osservazioni preliminari, ho cercato di impostare l'equazione nel modo seguente, indicato con $x=AD=AO $, l'incognita, ed avendodi $DQ=DP=DA-PA= DA-sqrt((AO)^2-(OP)^2)=x-sqrt (x^2-r^2) $
,potremo scrivere l'equazione:
$2x+(x-sqrt (x^2-r^2))=3x-sqrt (x^2-r^2)=(2p)/2=p$
risolvendo ho:
$3x-p=sqrt (x^2-r^2)$, elevo i due membri al quadrato ed ottengo:
$9x^2-6xp+p^2=x^2-r^2$, da cui
$8x^2-6xp+p^2+r^2=0$, a questo punto penso dovrei risolvere l'equazione e discutere quali soluzioni risultano accettabili;
cortesemente potere darmi un parere se fino adesso ho sviluppato il problema nella giusta direzione, ed eventualmente darmi un suggerimento per continuare?
Grazie!
Indicato i vertici del trapezio con le lettere $A$, $B $, $C $, $D $, in modo che risulti $DC $ la base minore ed $AB$ la base maggiore, inoltre indico con $Q$, il punto medio della base minore $DC$, e con $P$, il punto in cui il lato $AD $ e' tangente alla semicirconferenza, e con $H$ il punto in cui la perpendicolare tracciata dal punto $D $ incontra la base maggiore $AB$;
Osservo che: $PD=DQ$, che $AD=AO$, in quanto queste ultime ipotenuse dei triangoli rettangoli $AHD $ e $OPA $ che risultano essere congruenti essendo ambedue rettangoli, avendo l'angolo in $A $ in comune, ed avendosi $OP=DH=r $;
fatto queste osservazioni preliminari, ho cercato di impostare l'equazione nel modo seguente, indicato con $x=AD=AO $, l'incognita, ed avendodi $DQ=DP=DA-PA= DA-sqrt((AO)^2-(OP)^2)=x-sqrt (x^2-r^2) $
,potremo scrivere l'equazione:
$2x+(x-sqrt (x^2-r^2))=3x-sqrt (x^2-r^2)=(2p)/2=p$
risolvendo ho:
$3x-p=sqrt (x^2-r^2)$, elevo i due membri al quadrato ed ottengo:
$9x^2-6xp+p^2=x^2-r^2$, da cui
$8x^2-6xp+p^2+r^2=0$, a questo punto penso dovrei risolvere l'equazione e discutere quali soluzioni risultano accettabili;
cortesemente potere darmi un parere se fino adesso ho sviluppato il problema nella giusta direzione, ed eventualmente darmi un suggerimento per continuare?
Grazie!
Risposte
Stavo pensando che risultando il discriminante $delta=p^2-8r^2 $
dovendo essere $delta>=0$, per avere soluzioni nel campo reale,
quindi $p^2-8r^2>=0$, ma questo avviene per $p>=2rsqrt(2)$
Inoltre osservavo che avendo posto $AD=x $ , lato obliquo, le soluzioni per essere accettabili devono soddisfare alla condizione $x_i>r $, ora essendo le soluzioni $x_1=(3p+sqrt(p^2-8r^2))/8$, ed $x_2=(3p-sqrt (p^2-8r^2))/8$, e si vede facilmente che se poniamo $ (p^2-8r^2)=r^2$ avremo due soluzioni per $2rsqrt (2)
dovendo essere $delta>=0$, per avere soluzioni nel campo reale,
quindi $p^2-8r^2>=0$, ma questo avviene per $p>=2rsqrt(2)$
Inoltre osservavo che avendo posto $AD=x $ , lato obliquo, le soluzioni per essere accettabili devono soddisfare alla condizione $x_i>r $, ora essendo le soluzioni $x_1=(3p+sqrt(p^2-8r^2))/8$, ed $x_2=(3p-sqrt (p^2-8r^2))/8$, e si vede facilmente che se poniamo $ (p^2-8r^2)=r^2$ avremo due soluzioni per $2rsqrt (2)
3r $, la condizione
$p=3r $, esprime peraltro la situazione limite in cui si ha un rettangolo circoscritto alla semicirconferenza;
Mi sbaglio? 
Allora, partiamo da:
$3x-p=sqrt(x^2-r^2)$
Da cui segue: $x>=p/3$ e $x>=r$.
Eleviamo al quadrato:
$8x^2-6xp=-(p^2+r^2)$
Graficamente abbiamo a sinistra la parabola $y=8x^2-6xp$, con $p>=0$ e a destra la retta $y=-(p^2+r^2)<=0$.
Facendo le dovute analisi si arriva alle tue stesse conclusioni.
$3x-p=sqrt(x^2-r^2)$
Da cui segue: $x>=p/3$ e $x>=r$.
Eleviamo al quadrato:
$8x^2-6xp=-(p^2+r^2)$
Graficamente abbiamo a sinistra la parabola $y=8x^2-6xp$, con $p>=0$ e a destra la retta $y=-(p^2+r^2)<=0$.
Facendo le dovute analisi si arriva alle tue stesse conclusioni.
Anzi, da dal grafico si capisce inoltre anche che $p/3<=x<=3/4p$
Dalla tua soluzione non capisco su quale base poni $p^2-8r^2=r^2$
Scusa mi sono forse spiegato male;
Analizzando le soluzioni $x_1=(3p-sqrt (p^2-8r^2))/8$, ed $x_2=(3p+sqrt(p^2-8r^2))/8$, esse per essere accettabili devono appartenere intanto al campo reale, quindi deve essere $sqrt (p^2-8r^2)>=0$, e questo avviene per $p>=2rsqrt (2)$, ed inoltre ridultare $x_i>=r $, per la soluzione $x_1$ si tratta di risolvere la disequazione in $p$, $3p-sqrt(p^2-8r^2)>=8r $ si vede che e' soddisfatta per $p <=3r$, mentre per la soluzione $x_2$ risulta sempre accettabile in quanto per$p>=2rsqrt (2)$, risulta $x_2>r$
, e da qui deduco che le soluzioni del problema sono due per $2rsqrt (2)
Analizzando le soluzioni $x_1=(3p-sqrt (p^2-8r^2))/8$, ed $x_2=(3p+sqrt(p^2-8r^2))/8$, esse per essere accettabili devono appartenere intanto al campo reale, quindi deve essere $sqrt (p^2-8r^2)>=0$, e questo avviene per $p>=2rsqrt (2)$, ed inoltre ridultare $x_i>=r $, per la soluzione $x_1$ si tratta di risolvere la disequazione in $p$, $3p-sqrt(p^2-8r^2)>=8r $ si vede che e' soddisfatta per $p <=3r$, mentre per la soluzione $x_2$ risulta sempre accettabile in quanto per$p>=2rsqrt (2)$, risulta $x_2>r$
, e da qui deduco che le soluzioni del problema sono due per $2rsqrt (2)
3r $;
Sì dovrebbe includere anche il caso in cui si ha ancora un unica soluzione per $p=2rsqrt (2) $, e non capisco perché il testo da cui è tratto il problema non lo considera come risultato
Ti sconsiglio altamente di discutere il problema in modo algebrico, quel metodo è noto come metodo di Tartinville, abbandonato didatticamente già dagli anni $'70$. Piuttosto ti invito a seguire la via geometrica che ti ho proposto io.
La parte gialla nell'immagine rappresenta i punti con $1$ soluzione, la parte rossa quelli con $2$ soluzioni, il punto verde al vertice della parabola rappresenta $2$ soluzioni coincidenti
La parte gialla nell'immagine rappresenta i punti con $1$ soluzione, la parte rossa quelli con $2$ soluzioni, il punto verde al vertice della parabola rappresenta $2$ soluzioni coincidenti
Non ho mai risolto questo tipo di problemi per la mia insufficiente scolarita', mi sto cimentando solo adesso in tarda eta' , e mi interessava conoscere a prescindere dal metodo didattico, se lo svolgimento che ho proposto e' in qualche modo corretto, il problema e'tratto da un testo per il biennio scuola secondaria, risalente agli anni 90.
Grazie comunque per le risposte!
Grazie comunque per le risposte!
I risultati in qualche modo coincidono con quelli che fornisce il testo, volevo sapere se l'impostazione del problema sin dall'inizio e' corretta.
Grazie!
Grazie!
Il procedimento, fino a $3x-p=sqrt(x^2-r^2)$ è corretto.
Arriviamo alla discussione delle due soluzioni:
$x_1=(3p-sqrt(p^2-8r^2))/8$ e $x_2=(3p+sqrt(p^2-8r^2))/8$
$x_1>=r$
$3p-sqrt(p^2-8r^2)>=8r$
$3p-8r>=sqrt(p^2-8r^2)$
Si deve avere $p>=8/3r$ $->$ Sempre vero dato che $p>=2sqrt(2)r$
Eleviamo al quadrato:
$(3p-8r)^2>=p^2-8r^2$
$9p^2+64r^2-48pr-p^2+8r^2>=0$
$8p^2+72r^2-48pr>=0$
$p^2+9r^2-6pr>=0$
$(p-3r)^2>=0$ $->$ Sempre vero in $p>=2sqrt(2)r$
$x_2>=r ->$ E' banalmente sempre vero in $p>=2sqrt(2)r$ dato che $x_2>=x_1$
A meno che non abbia commesso io qualche strafalcione nella risoluzione delle disequazioni, le soluzioni del libro sono sbagliate.
Arriviamo alla discussione delle due soluzioni:
$x_1=(3p-sqrt(p^2-8r^2))/8$ e $x_2=(3p+sqrt(p^2-8r^2))/8$
$x_1>=r$
$3p-sqrt(p^2-8r^2)>=8r$
$3p-8r>=sqrt(p^2-8r^2)$
Si deve avere $p>=8/3r$ $->$ Sempre vero dato che $p>=2sqrt(2)r$
Eleviamo al quadrato:
$(3p-8r)^2>=p^2-8r^2$
$9p^2+64r^2-48pr-p^2+8r^2>=0$
$8p^2+72r^2-48pr>=0$
$p^2+9r^2-6pr>=0$
$(p-3r)^2>=0$ $->$ Sempre vero in $p>=2sqrt(2)r$
$x_2>=r ->$ E' banalmente sempre vero in $p>=2sqrt(2)r$ dato che $x_2>=x_1$
A meno che non abbia commesso io qualche strafalcione nella risoluzione delle disequazioni, le soluzioni del libro sono sbagliate.
Tra le ipotesi c'è anche che $x>=p/3$ e quindi devi imporre e risolvere anche $x_1>=p/3$ e $x_2>=p/3$
E risolvendo queste ultime due si trova $p<=3r$
Non capisco da dove saltino fuori i tuoi risultati...
xVulplasir
Hai perfettamente ragione!
Mi ero fatto ingannare dai risultati del testo, che davo per scontati, invece come giustamente osservavi tu, le condizioni risultano soddisfatte da ambedue le soluzioni per $p>=2rsqrt(2) $; pertanto il risultato del testo che riporta due soluzioni per $2rsqrt (2)
Hai perfettamente ragione!
Mi ero fatto ingannare dai risultati del testo, che davo per scontati, invece come giustamente osservavi tu, le condizioni risultano soddisfatte da ambedue le soluzioni per $p>=2rsqrt(2) $; pertanto il risultato del testo che riporta due soluzioni per $2rsqrt (2)
Il testo da cui ho tratto il problema e' "Elementi di geometria" di F.Enriques ed U.Amaldi.
Questo libro ha degli esercizi svolti? Se si come li svolge? Così come li fai tu?
Cioè nel senso: usa questo procedimento di analizzare tutte le condizioni una per una?
Dal punto di vista algebrico non fornisce nessun suggerimento per arrivare alla soluzione(in generale), dice solamente che vi sono due soluzioni per $2rsqrt (2)
3r$.
Poi da un suggerimento ma solo per arrivare ad una soluzione geometrica.
Ma questi esercizi saranno alla fine di un capitolo sulla discussione delle soluzioni con il parametro no? Nel capitolo, il libro fa vedere proprio esplicitamente di "prendere l'equazione di secondo grado e analizzare i casi in cui delta >=0, etc etc"? Perché penso che sia veramente una cosa inutile e sconsigliata, perché in pratica non fai altro che dei sistemi di disequazioni, e se vuoi esercitarti sulle disequazioni ci sono una miriade di altri tipi di esercizi più utili.
All' inizio del capitolo ho visto che riporta due esempi di svolgimento in cui imposta la relativa equazione e dopo analizza se le soluzioni sono convenienti al problema.
Ciao, francicko, potresti dire il titolo del libro e l'autore?
"Elementi di geometria"
F.Enriques U.Amaldi.
Parte seconda.
Zanichelli Bologna.
F.Enriques U.Amaldi.
Parte seconda.
Zanichelli Bologna.
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