Probabilità (Urna con biglie)
Buonasera ragazzi. Sono in stallo con questo problema:
In un'urna si hanno 6 biglie rosse, 3 biglie gialle e 1 biglia verde. Qual è la probabilità di estrarre, in due estrazioni, 2 biglie gialle, sapendo che dopo la prima estrazione la biglia estratta viene rimessa nell'urna?
Le risposte sono:
- 30%
- 20%
- 40%
- 2%
- 4%
di cui non so quale sia quella corretta.
Il problema è che a me non viene nessuna delle 5!
Come ho ragionato: gli eventi sono indipendenti, quindi la probabilità cercata è prodotto delle singole probabilità.
La probabilità di estrarre la biglia gialla è 3/10, quindi 3/10 * 3/10 = 9/100, cioè il 9 %
Sto sottovalutando qualcosa?
In un'urna si hanno 6 biglie rosse, 3 biglie gialle e 1 biglia verde. Qual è la probabilità di estrarre, in due estrazioni, 2 biglie gialle, sapendo che dopo la prima estrazione la biglia estratta viene rimessa nell'urna?
Le risposte sono:
- 30%
- 20%
- 40%
- 2%
- 4%
di cui non so quale sia quella corretta.
Il problema è che a me non viene nessuna delle 5!
Come ho ragionato: gli eventi sono indipendenti, quindi la probabilità cercata è prodotto delle singole probabilità.
La probabilità di estrarre la biglia gialla è 3/10, quindi 3/10 * 3/10 = 9/100, cioè il 9 %
Sto sottovalutando qualcosa?
Risposte
Hai ragione te.
Ps: la probabilità di estrarre 2 palline gialle in due estrazioni con rimessa è 0.09 e non 9%, la funzione di probabilità associata ad una variabile aleatoria è a valori in \( [0,1] \).
Ps: la probabilità di estrarre 2 palline gialle in due estrazioni con rimessa è 0.09 e non 9%, la funzione di probabilità associata ad una variabile aleatoria è a valori in \( [0,1] \).
$0.09$ e $9%$ sono la stessa cosa , sono solo rappresentazioni diverse dello stesso valore.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Sì, ma convenzionalmente (assiomaticamente direi, vedi Kolmogorov) si preferisce dare la probabilità come un numero reale compreso tra \(0\) ed \(1\) e non in percentuale. Tutto qui. Quindi uniformiamoci 
Altri modi non ce ne sono per far uscire almeno 1 dei risultati? Per esempio, se interpretiamo il problema con:
Prendiamo contemporaneamente due biglie, qual è la probabilità che siano entrambe gialle? Le rimettiamo, prendiamone di nuovo 2, qual è la probabilità che siano entrambe gialle? Qual è la probabilità che in successione si verifichino i due eventi? Una cosa del genere come si potrebbe fare?
Prendiamo contemporaneamente due biglie, qual è la probabilità che siano entrambe gialle? Le rimettiamo, prendiamone di nuovo 2, qual è la probabilità che siano entrambe gialle? Qual è la probabilità che in successione si verifichino i due eventi? Una cosa del genere come si potrebbe fare?
Uniformiaci a quale convenzione? Non conosco la convenzione di cui parli (ma questo è un problema mio, immagino che tra gli statistici anzi tra i matematici sia standard lavorare con intervalli e non con rappresentazioni più "esotiche" ), ti scordi spesso la sezione in cui ti trovi ma soprattutto questo è un test a risposta multipla e quelle proposte sono in percentuale. 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"Dragonlord":
Altri modi non ce ne sono per far uscire almeno 1 dei risultati? Per esempio, se interpretiamo il problema con:
Prendiamo contemporaneamente due biglie, qual è la probabilità che siano entrambe gialle? Le rimettiamo, prendiamone di nuovo 2, qual è la probabilità che siano entrambe gialle? Qual è la probabilità che in successione si verifichino i due eventi? Una cosa del genere come si potrebbe fare?
Così come è esposto il problema hai ragione tu, la probabilità è 0.09, ho provato anche io ad interpretare in più modi il testo ma non esce nessuno dei risultati proposti.
"axpgn":
Uniformiaci a quale convenzione? Non conosco la convenzione di cui parli (ma questo è un problema mio, immagino che tra gli statistici anzi tra i matematici sia standard lavorare con intervalli e non con rappresentazioni più "esotiche" ), ti scordi spesso la sezione in cui ti trovi ma soprattutto questo è un test a risposta multipla e quelle proposte sono in percentuale.
Cordialmente, Alex
Mi riferisco agli assiomi della probabilità. E non era rivolto all' OP, ma a chi ha proposto il test. [ot]Io non mi dimentico in che sezione sono. E se il test a risposta multipla propone quei risultati è un problema di chi ha fatto il test non certo di chi deve svolgerlo. Ma assiomaticamente la probabilità è un numero reale compreso tra 0 e 1. Questo perché non è sempre possibile vedere le probabilità come rapporto. Infatti per definizione di percentuale \( n \% \) significa che esistono due numeri tale che \( \frac{a}{b} \cdot 100 = n \). Ma questo non è sempre possibile farlo. Se hai uno spazio campionario discreto e finito allora sì. Ma non hai sempre a che fare con spazi campionari discreti e finiti. Io non mi sono messo a spiegare al OP le cose che sono avanzate, gli ho semplicemente detto: "ti faccio notare che la probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1, poi se ti interessa approfondire fallo e sono disposto ad aiutarti a farlo, se non ti interessa non c'è nessun problema, ma non moltiplicare per 100 che è meglio"
Il fatto è che, giustamente, alle superiori si da la definizione "frequentista" della probabilità. Ovvero la probabilità di un evento \(E \) è
\[ P(E) = \frac{ \left| E \right| }{ \left| \Omega \right| } \]
dove \( \left| E \right| =\) numero di casi favorevoli e \(\left| \Omega \right| = \) numero di casi totali. E va benissimo! Questa definizione di probabilità è utile in moltissimi casi, e ti dice pure come calcolare effettivamente la probabilità di un evento. Il moltiplicare per 100 è semplicemente un rescaling della tua misura. Ma formalmente ha dei problemini. In primo luogo è circolare, ovvero è necessario che tutti i singoli casi abbiano la stessa probabilità, ma tu vuoi definirla la probabilità. In situazioni in cui gli eventi non sono equiprobabili non è definita. Da ultimo hai bisogno che \( \left| \Omega \right| \) è finito! Si potrebbe semplicemente passare al limite ma vi sono altre "problematiche" in alcune situazioni. Agli inizi del 1900 Kolmogorov ha dato una definizione assiomatica (non ti dice come calcolare la probailità) ma è ben definita per tutte le situazioni che possono essere immaginabili, chiaramente non è proponibile una tale formalizzazione della probabilità alle superiori. Ma comunque è meglio lavorare con le probabilità come un numero che sta in \( [0,1] \) piuttosto che come percentuale. Anche perché si fa un lavoro inutile di rescaling moltiplicando per 100 quando per definizione (anche con quella frequentista) la probabilità è un numero compreso tra 0 e 1.
Se ti interessano gli assiomi della probabilità sono i seguenti
Definizione di tribu, o detta anche \(\sigma\)-algebra.
Sia \( \Omega \) un insieme, una tribu su \( \Omega \), è una famiglia \( \mathcal{F} \) di sottoinsiemi di \( \Omega \) che verificano le seguenti proprietà
1) \( \Omega \in \mathcal{F} \)
2) Se \( F \in \mathcal{F} \) allora \( F^C \in \mathcal{F} \), dove \( F^C \) è il complementare in \( \Omega \) di \(F\).
3) Se \( (F_n)_{n\in \mathbb{N}} \) è una successione di elementi di \( \mathcal{F} \) allora anche \( \bigcup_{n=1}^{\infty} F_n \in \mathcal{F} \).
Mentre gli assiomi della probabilità sono i seguenti:
Una funzione di probabilità (o misura di probabilità) su \( (\Omega, \mathcal{F}) \) - dove \( \Omega \) è un insieme e \( \mathcal{F} \) è una tribu su \( \Omega \) - è una applicazione \( P: \mathcal{F} \to [0,1] \) che verifica i seguenti due assiomi:
Assioma 1. \( P(\Omega)=1 \)
Assioma 2. Se \( (F_n)_{n \in \mathbb{N}} \) è una successione di eventi in \( \mathcal{F} \) che sono a due a due disgiunti allora
\[ P \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} F_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} P(F_n) \]
Tutte le altre proprietà delle probabilità sono deducibili da questi due assiomi.[/ot]
@3m0o
[ot]Mi sa che hai decisamente equivocato e mi confermi che sei andato "oltre"
Una scrittura come $9%$ è semplicemente un modo diverso di scrivere $0.09$ ma NON implica che il risultato raggiunto dipenda dal rapporto "favorevoli/possibili" ovvero non c'entra niente la rappresentazione del risultato con il metodo usato per raggiungerlo (peraltro è il metodo usato in questo caso e quindi anche la rappresentazione della risposta ci sta giusta )
Peraltro scrivere $9%$ NON significa "moltiplicare per cento", per nulla; mica ha scritto $9$, il simbolo $%$ puoi vederlo come un operatore per cui vale $9%=0.09$ sempre (non mi dirai che quando vedi scritto $9%$ lo leggi o lo "vedi" come nove!)
Se vuoi è lo stesso che scrivere un risultato come $1001_2$ invece che $9_10$, inusuale ma non scorretto (e nel nostro caso non è neppure inusuale)[/ot]
Cordialmente, Alex
[ot]Mi sa che hai decisamente equivocato e mi confermi che sei andato "oltre"
Una scrittura come $9%$ è semplicemente un modo diverso di scrivere $0.09$ ma NON implica che il risultato raggiunto dipenda dal rapporto "favorevoli/possibili" ovvero non c'entra niente la rappresentazione del risultato con il metodo usato per raggiungerlo (peraltro è il metodo usato in questo caso e quindi anche la rappresentazione della risposta ci sta giusta
)Peraltro scrivere $9%$ NON significa "moltiplicare per cento", per nulla; mica ha scritto $9$, il simbolo $%$ puoi vederlo come un operatore per cui vale $9%=0.09$ sempre (non mi dirai che quando vedi scritto $9%$ lo leggi o lo "vedi" come nove!)
Se vuoi è lo stesso che scrivere un risultato come $1001_2$ invece che $9_10$, inusuale ma non scorretto (e nel nostro caso non è neppure inusuale)[/ot]
Cordialmente, Alex
[ot]Nell'OT sono andato oltre. Prima no. La percentuale è 0.09, ma in un'altra "scala". Ma è ottenibile da un rapporto, perché è un modo differente di scrivere \(9/100\), ma in probabilità non è sempre possibile fare un rapporto. È quello che volevo dire.[/ot]
@3m0o
[ot]
Questa non l'ho capita ...
L'ho capito, lo so.
Ma, a parer mio, questo non c'entra nulla col fatto che la risposta sia data con una rappresentazione piuttosto che un'altra (purché corretta).
Secondo me, hai "sovraccaricato" di significato la risposta.[/ot]
Cordialmente, Alex
[ot]
"3m0o":
... La percentuale è 0.09, ma in un'altra "scala".
Questa non l'ho capita ...
"3m0o":
... ma in probabilità non è sempre possibile fare un rapporto. ...
L'ho capito, lo so.
Ma, a parer mio, questo non c'entra nulla col fatto che la risposta sia data con una rappresentazione piuttosto che un'altra (purché corretta).
Secondo me, hai "sovraccaricato" di significato la risposta.[/ot]
Cordialmente, Alex
@axpgn
[ot]Nel senso che 0.09 sta a 1 come 9 sta a 100. Quindi invece di avere la probabilità che è un numero tra 0 e 1 prendi una scala tra 0 e 100. Ma possibile che abbia caricato di significato una cosa di per se equivalente, insomma ho finito gli esami e sono stanco. Potrei aver detto una cavolata. Non lo so, lasciamo stare che è meglio
[/ot]
[ot]Nel senso che 0.09 sta a 1 come 9 sta a 100. Quindi invece di avere la probabilità che è un numero tra 0 e 1 prendi una scala tra 0 e 100. Ma possibile che abbia caricato di significato una cosa di per se equivalente, insomma ho finito gli esami e sono stanco. Potrei aver detto una cavolata. Non lo so, lasciamo stare che è meglio
[/ot]
Non vorrei intromettermi, ma spesso nei libri del primo biennio delle superiori viene indicata la probabilità in percentuale. In quelli del triennio non l'ho mai vista, ma nel libro di seconda qualche volta sì.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo