Probabilità condizionata

[MarinaLab]

Tre frecce vengono lanciate contro un bersaglio da tre arcieri. Poichè i tre arcieri sono a diversa distanza dal bersaglio, si stima in 3/5 la probabilità dell'arciere A di fare centro, in 1/2 la probabilità di far centro dell'arciere B ein 4/5 l'analoga probabilità dell'arciere C.Se una sola freccia raggiunge il centro del bersaglio, quale è la probabilità che essa sia di A?
risultato 3/13

[V1]

Allora sappiamo che:

$P(A)=3/5$
$P(B)=1/2$
$P(C)=4/5$


La probabilità associata a ciascun evento è:

$P(A')=1-3/5=2/5$
$P(B')=1-1/2=1/2$
$P(C')=1-4/5=1/5$

Siccome i tre eventi sono indipendenti calcoliamo la probabilità di $P(A|O)$ dove O è l'evento "freccia nel bersaglio" in questo modo:

$ (P(A)P(B')P(C'))/(P(A)P(B')P(C')+P(A')P(B)P(C')+P(A')P(B')P(C)) $

Ergo con un po' di numeri:

$ (3/5*1/2*1/5)/((3/5*1/2*1/5)+(2/5*1/2*1/5)+(2/5*1/2*4/5))=(3/50)/(13/50)=3/13 $

[G.D.5]

"V per Vendetta":
La probabilità associata a ciascun evento è:

$P(A')=1-3/5=2/5$
$P(B')=1-1/2=1/2$
$P(C')=1-4/5=1/5$

perdonate la mia intromissione...so poco e niente di probabilità...ma quelle riportate sopra indicano le probabilità che ciascu arciere non prenda il bersaglio o sbaglio?

[_Tipper]

"WiZaRd":[quote="V per Vendetta"]
La probabilità associata a ciascun evento è:

$P(A')=1-3/5=2/5$
$P(B')=1-1/2=1/2$
$P(C')=1-4/5=1/5$

perdonate la mia intromissione...so poco e niente di probabilità...ma quelle riportate sopra indicano le probabilità che ciascu arciere non prenda il bersaglio o sbaglio?[/quote]
Non sbagli.

[V1]

L'ho scritto che peggio non si poteva

Ovviamente con A, B, C intendo che i rispettivi arcieri prendano il bersaglio, quindi P(A'), P(B'), P(C') sono ovviamente la probabilità che gli arcieri manchino il bersaglio. In realtà ho cannato la notazione al posto dell'apice ci va la barra in alto.

[G.D.5]

ok...grazie

[gRg3]

"V":Allora sappiamo che:
$P(A)=3/5$ $P(B)=1/2$ $P(C)=4/5$
La probabilità associata a ciascun evento è:
$P(A')=1-3/5=2/5$ $P(B')=1-1/2=1/2$ $P(C')=1-4/5=1/5$
Siccome i tre eventi sono indipendenti calcoliamo la probabilità di $P(A|O)$ dove O è l'evento "freccia nel bersaglio" in questo modo:
$ (P(A)P(B')P(C'))/(P(A)P(B')P(C')+P(A')P(B)P(C')+P(A')P(B')P(C)) $
Ergo con un po' di numeri:
$ (3/5*1/2*1/5)/((3/5*1/2*1/5)+(2/5*1/2*1/5)+(2/5*1/2*4/5))=(3/50)/(13/50)=3/13 $

E' stata questa, indicatami alla fine del 2013 da Ivana Niccolai, la soluzione da cui sono partito per risolvere in modo più generale questo problema che però, inaspettatamente, si presta a diverse interpretazioni. All'inizio la soluzione qui proposta, delle due segnalatemi da Ivana, mi sembrava essere l'unica corretta. Certo era strano che non si parlasse di una sola freccia. Ed era anche insolito che venissero specificati, nel testo, i motivi delle valutazioni probabilistiche nonostante risultassero poi, in pratica, del tutto superflui. Pian piano però, ostinandomi a cercare diverse interpretazioni allo stesso testo, mi accorsi che questo, nella sua meravigliosa ambiguità, era estremamente ricco e, credo, anche mirabilmente congegnato. Nel tentativo di sottolineare e risolvere tutta questa interessante ambiguità emergente decisi, grazie anche alla gentile collaborazione di Ivana, di trasformare il testo in ipertesto.
Eccolo qui il risultato finale della mia fatica:

http://www.maecla.it/matematica/iperproblema/index.htm

Saluti
Giorgio Pietrocola