Probabilità

[Aletzunny1]

2 pali posizionati su un terreno orizzontale sono alti il primo 1m(A) e il secondo 2m(B).
Si posizionano contemporaneamente un punto su A e uno su B.
Calcola la probabilità che l'angolo formato dalla retta che congiunge A con B sia positivo, formando una retta che cresce andando da sinistra(A) a destra (B).

Io non ho davvero idea di come si possa risolvere con gli strumenti di quarta liceo
Grazie

[axpgn]

Ti premetto che non me ne intendo granché quindi prendi il mio commento con beneficio d'inventario

Se il punto $A$ si trova alla base del palo, la probabilità sarà $1$ (perché qualsiasi punto $B$ che tu scelga sul secondo palo non sarà mai più in basso di $A$)
Se il punto $A$ si trova in cima al palo (1 metro) allora la probabilità sarà $1/2$ (perché metà dei punti del secondo palo è situata più in alto e metà più in basso).
Per tutti i punti del primo palo che stanno tra la base e la cima, la probabilità varia da $1$ a $1/2$ linearmente in modo continuo (secondo me) quindi io direi che la probabilità che un punto del primo palo si trovi più in basso di uno del secondo sarà la media tra i due estremi cioè $3/4$ … IMHO

Cordialmente, Alex

[Aletzunny1]

Grazie, purtroppo non conosco il risultato perché non riportato...
Altri hanno idea diverse? È giusto cosi?

[Aletzunny1]

Nessuno può aiutarmi?

[anonymous_0b37e9]

Quota punto A

$z_A$

Quota punto B

$z_B$

Probabilità $z_B gt z_A$

$P=(A_(t r a p e z i o))/(A_(r e t t a n g o l o))=3/4$

[Aletzunny1]

Ok quindi aveva ragione axpgn ...
Grazie ad entrambi

[teorema55]

Sono molto perplesso. Il problema non dice che il segmento abbia origine alla base del palo A, così come non dice che termini a metà del palo B. Mi sfugge qualcosa?
Se la situazione fosse, genericamente






quante sarebbero le probabilità? Tante quanti sono i punti del palo B più alti di P', cioè infinite.

Dubbiosamente.

Marco

[axpgn]

@anonymous_0b37e9 è sempre troppo formalmente corretto ma qualche parola di accompagnamento non guasterebbe …
Ci provo io ...

@teorema55
Il grafico che ha postato non c'entra nulla con la forma "fisica" del problema, solo per puro caso può assomigliarli …


Ogni retta del problema si può identificare con la coppia di numeri $(A,B)$ dove $A$ è l'altezza da terra del punto $A$ sul primo palo e $B$ l'altezza da terra del punto $B$ sul secondo palo.
Quindi ogni retta è univocamente determinata da questa coppia di numeri; siamo d'accordo su questo?
Il valore di $A$ è compreso tra zero e uno ($0<=A<=1$) mentre il valore di $B$ è compreso tra zero e due ($0<=B<=2$)
Tutte le coppie $(A, B)$ di punti possibili (ovvero tutte le rette) si possono rappresentare sul piano cartesiano con il rettangolo intero ($1 xx 2$) disegnato da Sergeant Elias; d'accordo anche su questo?
Ora cosa ci chiede il problema? Tutte le rette che "salgono", in pratica tutte le coppie di punti in cui $B>A$; ok?
In quel disegno, tutti i punti che rispettano questa condizione sono quelli nell'area verde (cioè sopra la bisettrice del primo quadrante) mentre quelli che non la rispettano sono quelli nell'area rossa.
Adesso è facile calcolare la probabilità che una retta tra $A$ e $B$ sia in salita rispetto al totale delle rette: basta fare il rapporto tra l'area verde (i punti che rispettano la richiesta) e l'area del rettangolo (tutti i punti possibili).
Ok?

Cordialmente, Alex

[anonymous_0b37e9]

"axpgn":
... ma qualche parola di accompagnamento non guasterebbe ...

In effetti ...

"axpgn":
Ci provo io ...

Spiegazione impeccabile.

[Aletzunny1]

Ora ho davvero capito tutto! Grazie per la spiegazione dettagliata e al Sorgente per il grafico

[teorema55]

"axpgn":Ci provo io ...
………………………………..
Cordialmente, Alex

Quasi d'accordo (come molto spesso) con te, volpone.

Ma (e butto il sasso nello stagno) non è detto che il punto P' sia proprio alla base del palo A, come non è detto che il P'' sia proprio a metà del palo B

Con simpatia.

Marco

[teorema55]

Mi correggo parzialmente:

"axpgn":Tutte le coppie $(A, B)$ di punti possibili (ovvero tutte le rette) si possono rappresentare sul piano cartesiano con il rettangolo intero ($1 xx 2$) disegnato da Sergeant Elias; d'accordo anche su questo?

Mica tanto…………………..

[axpgn]

Perché?

Poniamo che $A$ sia a $0.3$ metri e il punto $B=0.5$; il punto di coordinate $(0.3, 0.6)$ è all'interno del rettangolo di Sergeant Elias.
Poniamo che sia $A=0.75$ e $B=0.2$; anche questo punto si trova all'interno del rettangolo, così come $(0.9, 1.25)$ o come $(0.01, 0.005)$ o come $(0.85, 1.97)$ e potrei proseguire all'infinito ...
Trovami tu adesso una coppia $(A, B)$ che rispetti le condizioni date (cioè $A$ si trovi sul primo palo e $B$ sul secondo) che si trovi FUORI da quel rettangolo ...
Ti devi togliere dalla testa l'idea che ti sei fatto che il disegno di @anonymous_0b37e9 rappresenti i due pali e la retta tra di loro: non c'entra NULLA!
Quel disegno è un bel modo per calcolare semplicemente e velocemente la probabilità cercata.

Cordialmente, Alex

[teorema55]

Forse si schiarisce l'orizzonte………………….per ogni segmento che abbia estremi sui pali il calcolo (e il risultato) sono diversi. Il risultato ottenuto da Sargeant è corretto solo nel caso di una situazione come quella da lui rappresentata.

Nel caso $P'=1/2$ e $P''=3/2$ il risultato sarebbe ovviamente diverso. Per pali distanti un metro sarebbe $Pr=1/2$

E la distanza tra i pali non influenza il problema? Penso di sì: se i pali fossero distanti $2m.$ la probabilità sarebbe $Pr=2/3$

[axpgn]

No, non ci siamo sei completamente fuori strada ... rileggi accuratamente quanto è stato scritto finora, se ti rimangono dubbi quando avrò più tempo ne riparliamo ...

[teorema55]

Non so se hai letto la mia ultima modifica. Comunque, volentieri.

Cordialmente.

Marco

[Lo_zio_Tom]

"teorema55":

E la distanza tra i pali non influenza il problema? Penso di sì

Ti assicuro di no. La soluzione proposta da @anonymous_0b37e9 è impeccabile[nota]in realtà qualcosa da eccepire ci sarebbe: magari far sì che l'OP si sforzi un po' di più, dato che spesso e volentieri posta quesiti mancanti di qualsiasi impegno e sforzo, aspettando che la soluzione piova da cielo....ma piova già ben confezionata....[/nota].

"teorema55": Il risultato ottenuto da Sergeant è corretto solo nel caso di una situazione come quella da lui rappresentata.

E che situazione particolare avrebbe rappresentato secondo te? Ha semplicemente ipotizzato che la distribuzione dei punti sui due pali sia uniforme ed indipendente (che è l'unica ipotesi necessaria per risolvere il problema come ha fatto lui, anche se non specificata dalla traccia) e poi ha fatto il rapporto fra area favorevole ed area totale

"teorema55":Sono molto perplesso.

quante sarebbero le probabilità? Tante quanti sono i punti del palo B più alti di P', cioè infinite.

Eh beh considera che le variabili in questione sono continue, ovvero hanno misura nulla in un punto e quindi tutti gli infiniti casi che vedi hanno TUTTI probabilità pari a zero.....Forse non hai ben compreso il problema; traduco, anche se pleonastico, il testo della soluzione di Seargent....

siano A e B due variabli aleatorie indipendenti uniformi rispettivamente $A~ U[0;1]$ e $B~ U[0;2]$

Calcolare $P[A

Se guardi sul forum ci sono decine e decine di esempi simili, tutti svolti e commentati; si tratta di elementi molto elementari (scusa la cacofonia) di calcolo delle probabilità. Scritta in questo modo si può risolvere facilmente con le usuali tecniche di calcolo anche ipotizzando una distribuzione non uniforme

Ora dovresti aver capito; se sei interessato a verificarne la comprensione, prova a risolvere la seguente variante al problema

"Aletzunny":2 pali posizionati su un terreno orizzontale sono alti il primo 1m(A) e il secondo 2m(B).
Si posizionano contemporaneamente un punto su A e uno su B.
Calcola la probabilità che l'angolo formato dalla retta che congiunge A con B sia positivo, formando una retta che cresce andando da sinistra(A) a destra (B) sapendo che la quota di A è maggiore di $1/2$

ciao

[Aletzunny1]

Ciao...sto cercando di capire ma vedendo la soluzione non la trovo del tutto inerente con il programma di quarta liceo...
Quella formula dell'area non l'avevo mai vista!
Purtroppo ho un prof che ha insegnato fino all'anno scorso in università e spesso se ne esce con quesiti del genere, dove noi studenti troviamo difficoltà a comprenderli e anche voi spesso li ritenete mancanti di parti.

[teorema55]

"tommik":

………….. se sei interessato a verificarne la comprensione, prova a risolvere la seguente variante al problema

[quote="Aletzunny"]2 pali posizionati su un terreno orizzontale sono alti il primo 1m(A) e il secondo 2m(B).
Si posizionano contemporaneamente un punto su A e uno su B.
Calcola la probabilità che l'angolo formato dalla retta che congiunge A con B sia positivo, formando una retta che cresce andando da sinistra(A) a destra (B) sapendo che la quota di A è maggiore di $1/2$

ciao[/quote]

Suppongo che sia da $1/2$ a $3/4$ a seconda dell'altezza di $A$...…………...

[Lo_zio_Tom]

"teorema55":

Suppongo che sia da $1/2$ a $3/4$ a seconda dell'altezza di $A$...…………...

...e grazie, ma questo valore occorre calcolarlo......altrimenti ad ogni esercizio di probabilità potresti dire: " sono quasi certo che il risultato sia un numero compreso fra 0 e 1"

Dopo questo piccola ma doverosa premessa, veniamo alla spiegazione.

Le variabili in questione sono assolutamente continue e quindi, in generale,

$P(A
Nel caso in esame le due variabili sono uniformi indipendenti, per cui la funzione di densità congiunta è data da $f_A(a)f_B(b)=1*1/2=1/2$ che poi non è altro che il reciproco dell'area del rettangolo che ha disegnato @Sergeant. Infatti la distribuzione congiunta è uniforme (quindi costante) su tutto il suo dominio bivariato: il rettangolo $[0;1]xx[0;2]$ che è il luogo geometrico che rappresenta tutte le scelte possibili che si possono avere posizionando i due punti in maniera del tutto casuale ed indipendente sui pali A e B.

Calcolare la probabilità $P(A
$int_0^1int_(a)^(2)f_(AB)(a,b)dadb=1/2int_0^1daint_(a)^(2)db=3/4$

La domanda che ti ho fatto successivamente è una semplice probabilità condizionata: $P(A1/2)$

Banalmente, la soluzione è il rapporto fra le aree interessate ovvero

$P(A1/2)=(5/8)/1=5/8$ come si vede bene dal grafico.



Prova a calcolare, ad esempio, $P(A
Ovviamente nulla vieta di usare la forumula valida in generale:


$P(A1/2)=(P(A1/2))/(P(A>1/2))=(1/2int_(1/2)^(1)daint_(a)^(2)db)/(int_(1/2)^(1)da)=(5/16)/(1/2)=5/8$

che in questo caso è del tutto inutile ma serve nei casi in cui la disribuzione congiunta non sia uniforme.

Spero che questo mio sforzo possa esserti stato utile per rispolverare questo importante argomento di probabilità. Purtroppo ho dovuto riassumere in poche righe numerosi concetti, ma per approfondimenti puoi guardare nella stanza di Statistica dove di esercizi simili ne ho risolti a centinaia...tutti risolti ed interamente commentati.

[Aletzunny1]

Scusate ma io ho cercato di capire ma questa sezione di probabilità in quarta liceo non l'ho vista!