Probabilità

[LoreVa1]

Consideriamo due urne A e B di cui:
A contiene 7 palline rosse e 3 palline nere
B contiene 5 palline rosse e 2 palline nere

Si sceglie a caso una delle due urne ( P(A)=P(B)=1/2 ) e si estrae una pallina.
Supponiamo che si estragga una pallina rossa, qual è la probabilità che provenga da A?

(Risultato: 44/99)

[superpippone]

A me verrebbe $49/99$

Comunque scrivi un "progetto" di soluzione.

[cooper1]

si risolve con la formula di Bayes.
devi quindi calcolare la probabilità di estrarre rossa dato che peschi da A e lo stesso per B e poi usi la formula:
$P(A|R)=(P(R|A)P(A))/(P(A)P(R|A)+P(B)P(R|B)$
dove ho indicato con R l'evento "estrarre una pallina rossa"

[LoreVa1]

"superpippone":A me verrebbe $49/99$

Comunque scrivi un "progetto" di soluzione.

Anche a me veniva 49/99! Volevo la conferma che il libro ha sbagliato a riportare il risultato.
Infatti P(R/A)= 7/10
P(A)=1/2
P(R)= P(R/A)*P(A)+P(R/B)*P(B)= 7/20 + 5/14= 99/140

DUNQUE P(A/R) => (7/10*1/2):99/140 =49/99

grazie!!

[superpippone]

O.K. Perfetto.

In questo caso si poteva ignorare di moltiplicare tutto per $1/2$

$(7/10)/(7/10+5/7)=(7/10)/(99/70)=7/10*70/99=49/99$

[stepper1]

Interessante, è come dire che $49/99$ è la probabilità che, posto che si sia verificato l'evento X, che può avere come cause A con $P(A)=7/10$ o B con $P(B)=5/7$, esso sia stato causato da A. Come si dovrebbe procedere al calcolo se le cause fossero più di 2 sempre supponendo l'equiprobabilità delle cause? Suppongo che questa sia l'ipotesi classica di base anche se nella formula di Bayes per 2 cause vedo che si possono inserire diversi valori.

[cooper1]

si abbia una sequenza finita o numerabile di eventi $A_i$ con probabilità non nulla e tali che:

1. $i != j$ $A_i nn A_j = Ø $
2. $uu _(i=1)^(oo) A_i = Omega$ (sono insiemi esaustivi)
[/list:u:n8uhkmmt]
dato un evento $E in Omega$ tale che $P(E) != 0$, vale la formula di Bayes, ovvero

$P(A_i | E)=(P(A_i)P(E|A_i))/(P(E))$

dove $P(E)= sum_(j) P(A_j)P(E|A_j)$
se hai che le probabilità degli eventi $A_i$ sono tutte uguali allora semplicemente puoi semplificarle nella formula e rimanere con le sole probabilità condizionate.

[stepper1]

Capito, solo quello che hai chiamato E io l'ho chiamato X. Grazie.