Prob. trigonometria con circonferenza

[webdomen]

Sia ABC un triangolo rettangolo in A tale che angolo su B=Pi/6. Tracciata la semicirconferenza
di diametro BC che non contiene A, si consideri un punto P su tale semicirconferenza
e si indichino con H, K ed R rispettivamente le proiezioni di P sulla retta AC, sulla retta AB e sulla retta BC.

vedi figura

Si determini x=angolo PBC in modo che

PH + PK = (1 + SQRT(3)) * PR

Risposta
x=Pi/6, Pi/4

[anna.supermath]

Ecco la soluzione
Calcoli esosi, ma fattibili
Guarda il foglio allegato.
Ipotizza che BC = 2r, tanto poi va via tutto, però meglio tu abbia un riferimento.

AC = r
AB = (radice di 3)r
PC = BC cos((Pi/2)-x)
PC = 2r senx
BP = BC sen((Pi/2)-x)
BP = 2r cosx
PH = PC sen((Pi/6) +x)
PH = 2r(senx)(sen((Pi/6)+x)
PK di trova col Teorema dei seni applicato al triangolo BKP
(PK)/(sen((Pi/6)+x)) = BP/(sen(Pi/2))
PK = 2r(cosx)(sen((Pi/6)+x))
Adesso di può impostare la relazione fornita

PH + PK = (1 + radice di 3)(PR)
2r(senx)(sen((Pi/6)+x)) + 2r(cosx) (sen((Pi/6)+x)) = (1 + radice di 3)(2r) (cosx)(senx)

A questo punto guardato lo svolgimento dei calcoli sul file allegato
La precedente espressione diventa:
(radice di 3)(tgx^2) - (1+radice di 3)(tgx) + 1 =0
Risolvi e trovi
tgx = 1
Quindi x = Pi/4
tgx = 1/(radice di 3)
Quindi
x = Pi/6