Prob trigonometria con arco

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È dato un arco AB , quarta parte di una circonferenza di centro O e raggio r Per ogni punto C dell'arco, è sempre possibile prendere su di esso un secondo punto D in modo che la semiretta OD sia bisettrice dell'angolo AOC. Posto x = AOD, si trovi il valore di x tale per cui l'area del pentagono OADCB misura 3/4 r^2

risposta Pi/6

Aggiunto 8 ore 26 minuti più tardi:

riscrivo il testo in quanto formattato male

E' dato un arco AB, quarta parte di una circonferenza di centro O e raggio r Per ogni punto C dell'arco, e' sempre possibile prendere su di esso un secondo punto D in modo che la semiretta OD sia bisettrice dell'angolo AOC. Posto x = AOD, si trovi il valore di x tale per cui l'area del pentagono OADCB misura 3/4 r^2

risposta Pi/6

[anna.supermath]

Ciao ecco la soluzione
L’area del pentagono OADCB la indico con Atot
Si ha che Atot è la somma delle aree dei triangoli AOD, DOC e COB
Atot = Aaod + Adoc + Acob

Aaod = Adoc = (1/2)(r^2)(senx)

Acob = (1/2)(r^2)(sen((Pi/2)-2x))
Acob = (1/2)(r^2)(cos2x)

Sostituisco

Atot = (1/2)(r^2)(senx) + (1/2)(r^2)(senx) + (1/2)(r^2)(cos2x)
Tenendo conto che
cos2x = 1 - 2 (senx)^2
si ottiene che
Atot = (r^2)(-(senx)^2 + (senx) +(1/2))
Atot = (3/4)r^2
quindi

(r^2)(-(senx)^2 + (senx) +(1/2)) = (3/4)r^2
Semplificando
4(senx)^2 -4(senx) + 1 = 0
Che si può scrivere come
(2senx - 1)^2 = 0
quindi
2senx - 1 = 0
senx = 1/2
x = Pi/6
x = (5/6) Pi non accettabile poiché x deve essere compreso fra 0 e Pi/4.