Prob. trigonometria

[webdomen]

Nel triangolo ABC rettangolo in B, l'angolo A misura Pi/6
Considerata la semicirconferenza di diametro AB = 2r esterna al triangolo, si trovi su di essa un punto P in modo
che, condotta da P la perpendicolare ad AB fino ad incontrare l’ipotenusa del triangolo nel punto Q, si abbia,
posto x = angolo( PAB )

f (x ) =QP − 1/2 AQ = ( SQRT(3)/2 ) * r

Per quale valore di x la funzione f assume il suo valore massimo?

Risposta:
a) Pi/6, Pi/3
b) pi/4

[anna.supermath]

Ciao
Non riesco a leggere com’è fatta la funzione, ci deve essere un problema di formattazione del testo
O provi a scriverla in un altro modo o metti l’immagine testo (se si può) o me la invii per messaggio (se possibile).
Altrimenti non ti posso aiutare

[webdomen]

Hai ragione problema nella formattazione.

la funzione è cosi definita

f(x) = QP - 1/2 AQ = SQRT(3)/2 r

allego il file della funzione

[anna.supermath]

Ok
10 minuti e metto soluzione

Aggiunto 1 ora 16 minuti più tardi:

Ciao
Ecco la soluzione con file allegato per dettaglio calcoli
x deve essere compreso fra 0 e Pi/2
Tutte le soluzioni al di fuori di questo intervallo dovranno essere scartate.
Si devono trovare QP ed AQ
Trovo QP come
QP = PH + HQ
PH = (PA)(senx)
PA = 2r(cosx)
quindi
PH = 2r (cosx)(senx)
Per trovare QH considero i triangoli rettangoli ABC e AHQ che sono simili:
CB : HQ = AB : HA
CB = (AC) (senPi/6)
AC = (AB) / (cosPi/6)
AC = 4r (radice di 3)/3
quindi
CB = 2r (radice di 3)/3
AH = (PA)(cosx)
AH = 2r (cosx)^2
Sostituisco nella proporzione e trovo:

(2r (radice di 3)/3) : HQ = 2r : (2r (cosx)^2)
Da cui
HQ = (2r/3)(radice di 3)(cosx)^2
Quindi
QP = 2r (cosx)(senx) + (2r/3)(radice di 3)(cosx)^2

QP = (2r/3)(radice di 3)(cosx)^2 + 2r(sen2x)

Trovo AQ come
(AQ)(cosPi/6) = AH
AQ = (AH)/(cosPi/6)
AQ = (4r/3)(radice di 3)(cosx)^2

Adesso si può impostare la funzione f(x)
f(x) = (2r/3)(radice di 3)(cosx)^2 + 2r(sen2x) + (-1/2)((4r/3)(radice di 3)(cosx)^2)
Svolgendo i calcoli
f(x) = r(sen2x)
f(x) = r(radice di 3)/2
Diventa
(sen2x) = (radice di 3)/2
2x = Pi/3
x = Pi/6
2x = (2/3)Pi
x = Pi/3
Per trovare il valore massimo della funzione, basta trovare il valore di x per cui
sen2x = 1
quindi
2x = Pi/2
x = Pi/4