Principio d'induzione
Ho un problema con questa dimostrazione, non riesco a venirne a capo:
$1^2+3^2+5^2....+(2n-1)^2 = (n(4n^2-1))/3$
qualcuno sa darmi qualche dritta o darmi un link dove leggere la soluzione? Ho cercato in internet ma invano. grazie.
$1^2+3^2+5^2....+(2n-1)^2 = (n(4n^2-1))/3$
qualcuno sa darmi qualche dritta o darmi un link dove leggere la soluzione? Ho cercato in internet ma invano. grazie.
Risposte
Vediamo...
$ (n(4n^2-1))/3 + [2(n+1)-1]^2 = $
$ (n(4n^2-1))/3 + [2n+2-1]^2 = $
$ (n(4n^2-1))/3 + (2n+1)^2 = $
$ (4n^3-n)/3 + 4n^2+4n+1 = $
$ (4n^3-n+12n^2+12n+3)/3 = $
$ (4n^3+12n^2+11n+3)/3 = $
$ ((n+1)(4n^2+8n+3))/3 = $
$ ((n+1)(4n^2+8n+4-1))/3 = $
$ ((n+1)[4(n^2+2n+1)-1])/3 = $
$ ((n+1)[4(n+1)^2-1])/3 $
C.V.D.
Qualcosa non ti è chiaro?
$ (n(4n^2-1))/3 + [2(n+1)-1]^2 = $
$ (n(4n^2-1))/3 + [2n+2-1]^2 = $
$ (n(4n^2-1))/3 + (2n+1)^2 = $
$ (4n^3-n)/3 + 4n^2+4n+1 = $
$ (4n^3-n+12n^2+12n+3)/3 = $
$ (4n^3+12n^2+11n+3)/3 = $
$ ((n+1)(4n^2+8n+3))/3 = $
$ ((n+1)(4n^2+8n+4-1))/3 = $
$ ((n+1)[4(n^2+2n+1)-1])/3 = $
$ ((n+1)[4(n+1)^2-1])/3 $
C.V.D.
Qualcosa non ti è chiaro?
Vedo che Caenorhabditis ha già scritto una possibile soluzione.
Metto anche la mia, in realtà identica nella sostanza...
\[\sum_{i=1}^{n}\ (2i-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}\]
Base: $n=1$. Si ha $sum_{i=1}^{1}\ (2i-1)^2 =1$ e $\frac{n(4n^2-1)}{3}=(1*3)/3=1$, quindi ok.
Passo: Supponiamo vero $\sum_{i=1}^{n}\ (2i-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}$ e dimostriamo che $\sum_{i=1}^{n+1}\ (2i-1)^2 = \frac{n[4(n+1)^2-1]}{3}$
Metto anche la mia, in realtà identica nella sostanza...
\[\sum_{i=1}^{n}\ (2i-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}\]
Base: $n=1$. Si ha $sum_{i=1}^{1}\ (2i-1)^2 =1$ e $\frac{n(4n^2-1)}{3}=(1*3)/3=1$, quindi ok.
Passo: Supponiamo vero $\sum_{i=1}^{n}\ (2i-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}$ e dimostriamo che $\sum_{i=1}^{n+1}\ (2i-1)^2 = \frac{n[4(n+1)^2-1]}{3}$
Bhe che dire...grazie a tutti e due per la risposta immediata 
. Una sola cosa, quindi non è sbagliato svolgere la formula in cui inserisco n+1 e confrontarla con il risultato ottenuto, come ha fatto Gi8...
. Una sola cosa, quindi non è sbagliato svolgere la formula in cui inserisco n+1 e confrontarla con il risultato ottenuto, come ha fatto Gi8...
"Themirhaccio":
Una sola cosa, quindi non è sbagliato svolgere la formula in cui inserisco n+1 e confrontarla con il risultato ottenuto, come ha fatto Gi8...
L'uguaglianza gode della proprietà transitiva.
Una dimostrazione alternativa,in fondo equivalente alle precedenti ma contenente forse spunti didatticamente interessanti,
fà uso della "nota" formula $sum_(k=1)^n k^2=(n(n+1)(2n+1))/6$ $AAn in NN$(1)
(se non lo fosse si può provarla per induzione
);
da essa deduciamo che:
$1^2+3^2+..+(2n-3)^2+(2n-1)^2=$
\(= [\underbrace{1^2+2^2+3^2+4^2+..+(2n-3)^2+(2n-2)^2+(2n-1)^2+(2n)^2}_{somma/dei/quadrati/dei/primi/2n/numeri})] \)-\([\underbrace{2^2+4^2+..+(2n-2)^2+(2n)^2}_{somma/dei/quadrati/dei/primi/n/numeri /pari}]=..= \)
$=(2n(2n+1)(2*2n+1))/6-4*[1^2+2^2+..+(n-1)^2+n^2]=(n(2n+1)(4n+1))/3-4(n(n+1)(2n+1))/6=$
$=(2n+1)/3[n(4n+1)-2n(n+1)]=(2n+1)/3(4n^2+n-2n^2-2n)=(2n+1)/3(2n^2-n)=(2n+1)/3(2n-1)n=$
$=([(2n+1)(2n-1)]n)/3=((4n^2-1)n)/3$ $AA n inNN setminus{1}$.
Dato poi che la formula resta vera pure per $n=1$(basta sostituire..),essa è allora acquisita per tutti i numeri naturali(*):
saluti dal web.
(*)In questo contesto stiamo ovviamente convenendo che $NN$ "parta" da $1$..
fà uso della "nota" formula $sum_(k=1)^n k^2=(n(n+1)(2n+1))/6$ $AAn in NN$(1)
(se non lo fosse si può provarla per induzione
);da essa deduciamo che:
$1^2+3^2+..+(2n-3)^2+(2n-1)^2=$
\(= [\underbrace{1^2+2^2+3^2+4^2+..+(2n-3)^2+(2n-2)^2+(2n-1)^2+(2n)^2}_{somma/dei/quadrati/dei/primi/2n/numeri})] \)-\([\underbrace{2^2+4^2+..+(2n-2)^2+(2n)^2}_{somma/dei/quadrati/dei/primi/n/numeri /pari}]=..= \)
$=(2n(2n+1)(2*2n+1))/6-4*[1^2+2^2+..+(n-1)^2+n^2]=(n(2n+1)(4n+1))/3-4(n(n+1)(2n+1))/6=$
$=(2n+1)/3[n(4n+1)-2n(n+1)]=(2n+1)/3(4n^2+n-2n^2-2n)=(2n+1)/3(2n^2-n)=(2n+1)/3(2n-1)n=$
$=([(2n+1)(2n-1)]n)/3=((4n^2-1)n)/3$ $AA n inNN setminus{1}$.
Dato poi che la formula resta vera pure per $n=1$(basta sostituire..),essa è allora acquisita per tutti i numeri naturali(*):
saluti dal web.
(*)In questo contesto stiamo ovviamente convenendo che $NN$ "parta" da $1$..
Grazie ancora ragazzi per le risposte e grazie a te theras per avermi dato questo spunto su cui riflettere , sottrarre dalla somma di tutti i numeri naturali (quadrati) quella dei numeri pari (quadrati) 
, sottrarre dalla somma di tutti i numeri naturali (quadrati) quella dei numeri pari (quadrati)
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