Principio di induzione matematica.
La formula di induzione è la seguente: $[n(n+1)]/2$. Vorrei sapere per quale motivo dividiamo per 2 il numeratore. Sapreste spiegare la logica su cui si basa la formula?
Grazie mille
Grazie mille
Risposte
Obbrobrio!
Che significa l'affermazione
?
Sai cos'è il principio di induzione matematica?
Che significa l'affermazione
"sentinel":
La formula di induzione è la seguente:$\frac{n(n+1)}{2}$
?
Sai cos'è il principio di induzione matematica?
Il principio di induzione è rappresentato dalla succitata formula. E' giusto?
Ma anche no.
PRINCIPIO DI INDUZIONE MATEMATICA
Sia $NN$ l'insieme dei numeri naturali e sia $S subseteq NN$. Se per $S$ valgono i due seguenti fatti:
i) $1 in S$
ii) $n in S => n+1 in S$
allora $S=NN$.
Il PIM è l'ultimo assioma di Peano per la presentazione assiomatica dei numeri naturali; inoltre si prova che esso è equivalente al
PRINCIPIO DEL MINIMO INTERO
Sia $S subseteq NN$: allora $S$ è dotato di minimo
L'equivalenza va intesa nel senso che assunto uno dei due come assioma si prova l'altro come Teorema (*)
Quindi il PIM non ha niente a che vedere che la tua formuletta. E allora la domanda sponatnea è: a che cosa serve?
TEOREMA. Sia $ccB(n)$ una proprietà che riguarda i numeri naturali $n$; se per $n=1$ risulta vera $ccB(1)$ e se, essendo vera $ccB(n)$ è vera anche $ccB(n+1)$, allora $ccB(n)$ è vera $forall n$.
DIMOSTRAZIONE. Lasciata per esercizio.
In virtù del Teorema precedente, si vuole provare la seguente proprietà dei naturali: $ccB(n) equiv sum_{i=1}^{n}i=frac{n(n+1}}{2}$.
La dimostrazione procede per induzione, i.e. si prova che vale l'uguaglianza per $n=1$, poi la si suppone vera per $n$ e si trae che essa è vera per $n+1$.
________________
(*) Anche se questa affermazione non è delle più felici: sarebbe più corretto dire che un sistema assiomatico per la presentazione dei numeri naturali che assuma il PIM come assioma ha il PMI come teorema, e viceversa.
Sia $NN$ l'insieme dei numeri naturali e sia $S subseteq NN$. Se per $S$ valgono i due seguenti fatti:
i) $1 in S$
ii) $n in S => n+1 in S$
allora $S=NN$.
Il PIM è l'ultimo assioma di Peano per la presentazione assiomatica dei numeri naturali; inoltre si prova che esso è equivalente al
PRINCIPIO DEL MINIMO INTERO
Sia $S subseteq NN$: allora $S$ è dotato di minimo
L'equivalenza va intesa nel senso che assunto uno dei due come assioma si prova l'altro come Teorema (*)
Quindi il PIM non ha niente a che vedere che la tua formuletta. E allora la domanda sponatnea è: a che cosa serve?
TEOREMA. Sia $ccB(n)$ una proprietà che riguarda i numeri naturali $n$; se per $n=1$ risulta vera $ccB(1)$ e se, essendo vera $ccB(n)$ è vera anche $ccB(n+1)$, allora $ccB(n)$ è vera $forall n$.
DIMOSTRAZIONE. Lasciata per esercizio.
In virtù del Teorema precedente, si vuole provare la seguente proprietà dei naturali: $ccB(n) equiv sum_{i=1}^{n}i=frac{n(n+1}}{2}$.
La dimostrazione procede per induzione, i.e. si prova che vale l'uguaglianza per $n=1$, poi la si suppone vera per $n$ e si trae che essa è vera per $n+1$.
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(*) Anche se questa affermazione non è delle più felici: sarebbe più corretto dire che un sistema assiomatico per la presentazione dei numeri naturali che assuma il PIM come assioma ha il PMI come teorema, e viceversa.
Povero zero.
"aleph_91":
Povero zero.
Ho tolto lo $0$ da $NN$ perché addizione e moltiplicazione sono, per definizione, operazioni binarie, i.e. applicazioni di $NN times NN to NN$, ragione per cui considerare lo $0$ per questo esercizio può generare problemi per chi ha già scarsa familiarità con l'induzione: infatti la somma di $0$ con niente non esiste, quindi si sarebbe dovuto premettere, per convenzione, $sum_{i=0}^{0}i:=0$, cosa che ho preferito evitare.
beh e $\sum_{i=1}^1 i$ ??
@aleph_91
Hai ragione: mi sono preoccupato di eliminare una convenzione e ho lasciato l'altra. Chiedo venia.
Hai ragione: mi sono preoccupato di eliminare una convenzione e ho lasciato l'altra. Chiedo venia.
"sentinel":
La formula di induzione è la seguente: $[n(n+1)]/2$. Vorrei sapere per quale motivo dividiamo per 2 il numeratore. Sapreste spiegare la logica su cui si basa la formula?
Senza usare l'induzione (o meglio, camuffandola) io questa formula la vedo così (in modo intuitivo e poco rigoroso):
Devi sommare i numeri da $1$ a $n$, puoi dire che la somma del primo numero ($1$) con l'ultimo numero ($n$), è pari alla somma del secondo ($2$) più il penultimo($n-1$) e così via:
$1+n=2+(n-1)=3-(n-2)=...=(n-1)+2=n+1$
Quindi puoi dire che tale la somma totale è uguale a $n+1$ preso $n$ volte e diviso per due (proprio perchè ogni numero è ripetuto due volte).
Il ragionamento è un po' contorto, è ancora più semplice spiegarlo con un disegno:
faccio l'esempio se $n=7$ tanto vale sempre...
1
22
333
4444
55555
666666
7777777
Il numero delle cifre che appaiono qua sopra è ciò che vogliamo trovare, quindi ci si può aiutare così:
17777777
22666666
33355555
44444444
55555333
66666622
77777771
Ossia con un rettangolo di 8 colonne e 7 righe di numeri, che sono quindi $7*8$ nonchè il doppio di quelli che volevamo trovare che sono quindi $\frac{7*(7+1)}{2}
"Tul":
Senza usare l'induzione (o meglio, camuffandola) io questa formula la vedo così (in modo intuitivo e poco rigoroso):
Devi sommare i numeri da $1$ a $n$, puoi dire che la somma del primo numero ($1$) con l'ultimo numero ($n$), è pari alla somma del secondo ($2$) più il penultimo($n-1$) e così via:
$1+n=2+(n-1)=3-(n-2)=...=(n-1)+2=n+1$
Quindi puoi dire che tale la somma totale è uguale a $n+1$ preso $n$ volte e diviso per due (proprio perchè ogni numero è ripetuto due volte).
Beh, questo è il modo in cui, sidice, Gauss abbia risolto il quesito allorché studente alle prime armi.
"Tul":
[quote="sentinel"]La formula di induzione è la seguente: $[n(n+1)]/2$. Vorrei sapere per quale motivo dividiamo per 2 il numeratore. Sapreste spiegare la logica su cui si basa la formula?
Senza usare l'induzione (o meglio, camuffandola) io questa formula la vedo così (in modo intuitivo e poco rigoroso):
Devi sommare i numeri da $1$ a $n$, puoi dire che la somma del primo numero ($1$) con l'ultimo numero ($n$), è pari alla somma del secondo ($2$) più il penultimo($n-1$) e così via:
$1+n=2+(n-1)=3-(n-2)=...=(n-1)+2=n+1$
Quindi puoi dire che tale la somma totale è uguale a $n+1$ preso $n$ volte e diviso per due (proprio perchè ogni numero è ripetuto due volte).
Il ragionamento è un po' contorto, è ancora più semplice spiegarlo con un disegno:
faccio l'esempio se $n=7$ tanto vale sempre...
1
22
333
4444
55555
666666
7777777
Il numero delle cifre che appaiono qua sopra è ciò che vogliamo trovare, quindi ci si può aiutare così:
17777777
22666666
33355555
44444444
55555333
66666622
77777771
Ossia con un rettangolo di 8 colonne e 7 righe di numeri, che sono quindi $7*8$ nonchè il doppio di quelli che volevamo trovare che sono quindi $\frac{7*(7+1)}{2}[/quote]
Grazie Tul, sei stato chiarissimo. Era proprio quello che volevo sapere!
Ciao
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