Principio di induzione dubbio
Ho visto un esempio slto in cui usando il principio di induzione bisogna dimostrare che:
$2^3+4^3+6^3+...+(2n)^3 = 2n^2(n+1)^2$. Il procedimento illustrato è questo:
$2^3+4^3+6^3+(2n)^3+(2(n+1))^3=2(n+1)^2(n+2)^2$.
Non capisco perchè nel passo induttivo non conserva il termine $(2n)^3$ anzichè sostituirlo con $(2(n+1))^3$, o meglio ci sono entrambi, ma io avrei lasciato solo $(2(n+1))^3$ e pi nel secondo mebro dell'equazione è presente proprio ciò che mi sarei aspettato, ovvero $2(n+1)^2((n+1)+1)^2$
Potreste chiarire il mio dubbio per favore?
$2^3+4^3+6^3+...+(2n)^3 = 2n^2(n+1)^2$. Il procedimento illustrato è questo:
$2^3+4^3+6^3+(2n)^3+(2(n+1))^3=2(n+1)^2(n+2)^2$.
Non capisco perchè nel passo induttivo non conserva il termine $(2n)^3$ anzichè sostituirlo con $(2(n+1))^3$, o meglio ci sono entrambi, ma io avrei lasciato solo $(2(n+1))^3$ e pi nel secondo mebro dell'equazione è presente proprio ciò che mi sarei aspettato, ovvero $2(n+1)^2((n+1)+1)^2$
Potreste chiarire il mio dubbio per favore?
Risposte
Per provare che da qualche parte, per qualche \( n\geqq 1 \), la forma chiusa di \( \sum_{i = 1}^n2i^3 \) è esattamente quello che dici tu, dimostra - per induzione - che \( \sum_{i = 1}^n2i^3 = 2\sum_{i = 1}^ni^3 \). Poi ti aiuta questo.
Si dimostra così. Il caso banale è vero. Se \( \sum_{i = 1}^ni^3 = \left(\sum_{i = 1}^ni\right)^2 \) per qualche \( n>1 \), allora, da
\[
\textstyle\sum_{i = 1}^{n + 1}i^3 = \sum_{i = 1}^ni^3 + (n + 1)^3 = \left(\sum_{i = 1}^ni\right)^2 + (n + 1)^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4} + (n + 1)^3
\] hai la tesi. \( \square \)
Si dimostra così. Il caso banale è vero. Se \( \sum_{i = 1}^ni^3 = \left(\sum_{i = 1}^ni\right)^2 \) per qualche \( n>1 \), allora, da
\[
\textstyle\sum_{i = 1}^{n + 1}i^3 = \sum_{i = 1}^ni^3 + (n + 1)^3 = \left(\sum_{i = 1}^ni\right)^2 + (n + 1)^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4} + (n + 1)^3
\] hai la tesi. \( \square \)
Credo che tu abbia un po' di confusione sulla dimostrazione per induzione.
Devi dimostrare $ 2^3+4^3+6^3+...+(2n)^3 = 2n^2(n+1)^2 $ per farlo devi verificare che
1. $P(1)$ è vera
2. dalla verità di $P(n)$ poi dimostrare la verità di $P(n+1)$
1. verifico la verità di $P(1)$: il I membro è $2^3=8$, il II membro è $2*1^2*(1+1)^2=8$ quindi $P(1)$ è vera
2. scrivo la $P(n+1)$, devo fare la somma dei quadrati dei primi $n+1$ numeri pari e sostituire $n+1$ a secondo membro
$ 2^3+4^3+6^3+...+(2n)^3+(2(n+1))^3=2(n+1)^2(n+2)^2 $
adesso inizia la seconda parte della dimostrazione:
suppongo vera $P(n)$, quindi sostituisco nella formula precedente la somma dei quadrati dei primi $n$ numeri pari con $2n^2(n+1)^2 $
$ 2^3+4^3+6^3+...+(2n)^3+(2(n+1))^3=2n^2(n+1)^2 +(2(n+1))^3=$ raccolgo a fattor comune
$=(n+1)^2 (2n^2+2^3(n+1))=(n+1)^2(2n^2+8n+8)= $
$=2 (n+1)^2(n^2+4n+4)=2 (n+1)^2(n+2)^2$ e viene esattamente quella che avevo scritto nel punto 2., quindi la dimostrazione è correttamente conclusa.
Devi dimostrare $ 2^3+4^3+6^3+...+(2n)^3 = 2n^2(n+1)^2 $ per farlo devi verificare che
1. $P(1)$ è vera
2. dalla verità di $P(n)$ poi dimostrare la verità di $P(n+1)$
1. verifico la verità di $P(1)$: il I membro è $2^3=8$, il II membro è $2*1^2*(1+1)^2=8$ quindi $P(1)$ è vera
2. scrivo la $P(n+1)$, devo fare la somma dei quadrati dei primi $n+1$ numeri pari e sostituire $n+1$ a secondo membro
$ 2^3+4^3+6^3+...+(2n)^3+(2(n+1))^3=2(n+1)^2(n+2)^2 $
adesso inizia la seconda parte della dimostrazione:
suppongo vera $P(n)$, quindi sostituisco nella formula precedente la somma dei quadrati dei primi $n$ numeri pari con $2n^2(n+1)^2 $
$ 2^3+4^3+6^3+...+(2n)^3+(2(n+1))^3=2n^2(n+1)^2 +(2(n+1))^3=$ raccolgo a fattor comune
$=(n+1)^2 (2n^2+2^3(n+1))=(n+1)^2(2n^2+8n+8)= $
$=2 (n+1)^2(n^2+4n+4)=2 (n+1)^2(n+2)^2$ e viene esattamente quella che avevo scritto nel punto 2., quindi la dimostrazione è correttamente conclusa.
Ma continuo a non capire perchè quando si fa $P(n+1)$ continua a comparire al primo membro anche il termine $(2n)^3$ anzichè esserci solo $(2(n+1))^3$.
Potrebbe esserci anche il termine $(2(n-1))^3$ non cambierebbe niente, solo che, se devi poi sostituire la seconda ipotesi di induttività hai bisogno che il primo membro ci sia tutto.
questa $ 2^3+4^3+6^3+...+(2n)^3 = 2n^2(n+1)^2 $ potrebbe anche esser scritta così
$ 2^3+4^3+6^3+...+(2(n-1))^3+(2n)^3 = 2n^2(n+1)^2 $,
invece di mettere solo l'ultimo termine, posso mettere gli ultimi 2, non posso metterli tutti solo perché deve valere per ogni $n$.
questa $ 2^3+4^3+6^3+...+(2n)^3 = 2n^2(n+1)^2 $ potrebbe anche esser scritta così
$ 2^3+4^3+6^3+...+(2(n-1))^3+(2n)^3 = 2n^2(n+1)^2 $,
invece di mettere solo l'ultimo termine, posso mettere gli ultimi 2, non posso metterli tutti solo perché deve valere per ogni $n$.
Mi chiarisco facendo un esempio. Voglio dimostare la diseguaglianza di Bernoulli per cui $P(n): (1+x)^n>=1+nx$ e quando considero $P(n+1)$ sostituisco a tutti gli $n$ presenti $n+1$, quindi $p(n+1)=(1+x)^(n+1)>=1+(n+1)x$.
Ma nel nostro caso il termine $(2n)^3$ non viene rimpiazzato da $(2(n+1))^3$ ma continua a esserci in $P(n+1)$
Ma nel nostro caso il termine $(2n)^3$ non viene rimpiazzato da $(2(n+1))^3$ ma continua a esserci in $P(n+1)$
Continui a confondere la tesi con il procedimento usato ...
Qui $ 2^3+4^3+6^3+...+(2n)^3 $ hai una somma di $n$ termini e qui $ 2^3+4^3+6^3+...+(2n)^3+(2(n+1))^3$ la somma di $n+1$ termini, per evidenziare che alla precedente è stato aggiunto un termine, si ricopia la precedente e gli si aggiunge il termine $n+1$-esimo, cioè $(2(n+1))^3$
Nell'esempio che hai postato hai un solo termine che definisce $P(n)$ e, di conseguenza, un solo termine che definisce $P(n+1)$
Ti faccio io un esempio più banale:
la somma dei primi 10 naturali: $1+2+3+...+10$
la somma dei primi 11 naturali: $1+2+3+...+11$ ma se so già che la somma dei primi 10 vale 55, mi conviene scriverla $1+2+3+...+10+11=55+11=66$
Nell'esempio che hai postato hai un solo termine che definisce $P(n)$ e, di conseguenza, un solo termine che definisce $P(n+1)$
Ti faccio io un esempio più banale:
la somma dei primi 10 naturali: $1+2+3+...+10$
la somma dei primi 11 naturali: $1+2+3+...+11$ ma se so già che la somma dei primi 10 vale 55, mi conviene scriverla $1+2+3+...+10+11=55+11=66$
Perfetto melia, ora mi è chiaro.
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