Principio di induzione

[duepiudueugualecinque]

ho un problema, per alcune cose l'ho capito per altre no...es:

dimostra che $4^(2n) - 3^n$ è multiplo di 13 per ogni n appartenente ai naturali -{0}

qui bisogna fare:

se n=1 allora è verificato perchè il tutto è uguale a 13...

ora bisogna supporre che sia giusto per n, quindi diciamo che esiste un $k$ appartenente ai naturali tale che $4^(2n) - 3^n = 13k$ → $4^(2n) = 13k + 3^n$

allora ora bisogna vedere per $n+1$

quindi $4^(2(n+1)) - 3^(n+1) = 16 * 4^(2n) - 3 * 3^n = 16(13k + 3^n) -3 * 3^n = 16 * 13k + 16 * 3^n - 3* 3^n = 16 * 13k + 3^n(16-3) = 16 * 13k +3^n * 13 = 13(16 k + 3^n)$

ma $(16k +3^n)$ è un numero naturale e, siccome viene moltiplicato per $13$ allora è verificato, allora è verificato per ogni $n$...



ok, questo era un pò contorto, ma semplice, quindi dopo un pò ho capito il ragionamento, ora viene la dimostrazione che non riesco a capire...

$2^0 + 2^1 + 2^2+...+ 2^(n-1) = 2^n - 1$

primo passo per n =1 lo verifico e ok, va bene

secondo passo: ( da questo passaggio in poi non capisco più niente)

aggiungiamo ad entrambi i membri $2^n$:

$2^0 + 2^1 +2^2+...+ 2^(n-1) + 2^n = 2^n - 1 + 2^n$

che possiamo scrivere anche:

$2^0 + 2^1 +2^2+...+ 2^(n-1) + 2^((n+1)-1) = 2*2^n - 1$

in fine:

$2^0 + 2^1 +2^2+...+ 2^((n+1)-1) = 2^(n+1) - 1$


io in questa dimostrazione non ci ho capito niente...qualcuno sa spiegarmela

[Nicole931]

viene usato un metodo che si applica spesso in matematica, cioè quello di aggiungere ad ambo i membri di un'uguaglianza una stessa quantità.
E' un procedimento che viene usato per "far tornare i conti", ed in effetti è quello che avviene nel tuo caso, poichè poi basta scrivere $2^n=2^((n+1)-1)$ al primo membro ed applicare le proprietà delle potenze al secondo perchè l'uguaglianza iniziale sia dimostrata anche per $n+1$

[duepiudueugualecinque]

però non capisco perchè nell'ultimo passaggio $2^(n-1)$ al primo membro e $2$ al secondo membro vanno via?

[duepiudueugualecinque]

ok, o capito, dopo un pò che la continuavo a guardare sono riuscito a capirla finalmente...il fatto è che era troppo ingarbugliata e non conoscendo bene i procedimenti non riuscivo a capire, ora che so il procedimento mi sembra anche troppo semplice XD