Principio di induzione
Ciao a tutti 
Ho iniziato da poco a studiare il principio di induzione e ho incontrato alcune difficoltà in questa che dovrebbe essere una semplice dimostrazione.
L' esercizio richiede:
Dimostrare che $AA a >=0$ con $ a in NN $ si ottiene $(1+a)^n>= 1+na $
Ora io ho proceduto in questo modo:
1) Ho dimostrato che la disequazione è vera per $ n=1 $
ovvero che $(1+a)^1>= 1+1a$ ----> $ 1+a >= 1+a $ e questo è vero $ AA n in NN $
2) Suppongo che l equazione sia vera per $ n0$ (lo chiamerò $n$
3) Provo a dimostrare che la disequazione è vera anche per $n+1$
Quindi che $(1+a)^(n+1)>=1+(n+1)a$
e gia qui mi sorge un dubbio- Svolgendo la disequazione non dovrebbe venire $ (1+a)^n(1+a)>= 1+na+a $ ?
Il libro scrive che sostituendo $n+1$ si ottiene $(1+a)^n(1+a)>=(1+na)(1+a)$ forse perchè accorgendoci che $(1+a)^(n+1)=(1+a)^n(1+a) $ si aggiunge il fattore $(1+a)$ e quindi bisogna non sostituire $(n+1)$ nel secondo termine della disequazione bensì bisogna moltiplicare per $(1+a)$ ? Comunque non dovremmo trovare questo risultato anche sostituendo $(n+1)$ nel secondo termine?
Continuo la mia dimostrazione prendendo come giusto il risultato dato dal libro. Quindi $(1+a)^n(1+a)>=(1+na)(1+a)$
Poichè $a>=0$ posso dividere tutto per $(1+a)$ lasciando invariato il segno della disequazione e ottengo $(1+a)^n>=1+na$
Ottengo quindi la disequazione che ho supposto vera in partenza e ciò non dovrebbe verificare la mia dimostrazione?
Il libro continua diversamente. Da $(1+a)^n(1+a)>=(1+na)(1+a)$ continua cosi:
$ 1+(n+1)a+na^2>=1+(n+1)a$
e si trova che questo è vero $ AA a in NN $ e quindi la proposizione è vera $ AA n in NN$
Non riesco pero a capire quest' ultimo passaggio.
Se qualcuno può chiarirmi questi dubbi ne sarei molto lieto e grazie mille in anticipo
Ho iniziato da poco a studiare il principio di induzione e ho incontrato alcune difficoltà in questa che dovrebbe essere una semplice dimostrazione.
L' esercizio richiede:
Dimostrare che $AA a >=0$ con $ a in NN $ si ottiene $(1+a)^n>= 1+na $
Ora io ho proceduto in questo modo:
1) Ho dimostrato che la disequazione è vera per $ n=1 $
ovvero che $(1+a)^1>= 1+1a$ ----> $ 1+a >= 1+a $ e questo è vero $ AA n in NN $
2) Suppongo che l equazione sia vera per $ n0$ (lo chiamerò $n$
3) Provo a dimostrare che la disequazione è vera anche per $n+1$
Quindi che $(1+a)^(n+1)>=1+(n+1)a$
e gia qui mi sorge un dubbio- Svolgendo la disequazione non dovrebbe venire $ (1+a)^n(1+a)>= 1+na+a $ ?
Il libro scrive che sostituendo $n+1$ si ottiene $(1+a)^n(1+a)>=(1+na)(1+a)$ forse perchè accorgendoci che $(1+a)^(n+1)=(1+a)^n(1+a) $ si aggiunge il fattore $(1+a)$ e quindi bisogna non sostituire $(n+1)$ nel secondo termine della disequazione bensì bisogna moltiplicare per $(1+a)$ ? Comunque non dovremmo trovare questo risultato anche sostituendo $(n+1)$ nel secondo termine?
Continuo la mia dimostrazione prendendo come giusto il risultato dato dal libro. Quindi $(1+a)^n(1+a)>=(1+na)(1+a)$
Poichè $a>=0$ posso dividere tutto per $(1+a)$ lasciando invariato il segno della disequazione e ottengo $(1+a)^n>=1+na$
Ottengo quindi la disequazione che ho supposto vera in partenza e ciò non dovrebbe verificare la mia dimostrazione?
Il libro continua diversamente. Da $(1+a)^n(1+a)>=(1+na)(1+a)$ continua cosi:
$ 1+(n+1)a+na^2>=1+(n+1)a$
e si trova che questo è vero $ AA a in NN $ e quindi la proposizione è vera $ AA n in NN$
Non riesco pero a capire quest' ultimo passaggio.
Se qualcuno può chiarirmi questi dubbi ne sarei molto lieto e grazie mille in anticipo
Risposte
L'ipotesi è $(1+a)^n>=1+na$ e la tesi è $(1+a)^(n+1)>=1+(n+1)a$; facendo la tua divisione per $(1+a)$ torni all'ipotesi e non dimostri la tesi.
Il ragionamento del libro è: moltiplichiamo entrambi i membri dell'ipotesi per $(1+a)$; otteniamo
$(1+a)^(n+1)>=(1+na)(1+a)$
Ma il secondo membro è uguale a
$1+na+a+na^2=1+(n+1)a+na^2>=1+(n+1)a$
perché abbiamo trascurato un addendo positivo o nullo (chiarisco con un esempio: se $c>0$, allora $a+b+c>a+b$),quindi
$(1+a)^(n+1)>=(1+na)(1+a)>=1+(n+1)a$
ed il confronto fra primo ed ultimo membro è la tesi.
Il ragionamento del libro è: moltiplichiamo entrambi i membri dell'ipotesi per $(1+a)$; otteniamo
$(1+a)^(n+1)>=(1+na)(1+a)$
Ma il secondo membro è uguale a
$1+na+a+na^2=1+(n+1)a+na^2>=1+(n+1)a$
perché abbiamo trascurato un addendo positivo o nullo (chiarisco con un esempio: se $c>0$, allora $a+b+c>a+b$),quindi
$(1+a)^(n+1)>=(1+na)(1+a)>=1+(n+1)a$
ed il confronto fra primo ed ultimo membro è la tesi.
"giammaria":
L'ipotesi è $(1+a)^n>=1+na$ e la tesi è $(1+a)^(n+1)>=1+(n+1)a$; facendo la tua divisione per $(1+a)$ torni all'ipotesi e non dimostri la tesi.
Il ragionamento del libro è: moltiplichiamo entrambi i membri dell'ipotesi per $(1+a)$; otteniamo
$(1+a)^(n+1)>=(1+na)(1+a)$
Ma il secondo membro è uguale a
$1+na+a+na^2=1+(n+1)a+na^2>=1+(n+1)a$
perché abbiamo trascurato un addendo positivo o nullo (chiarisco con un esempio: se $c>0$, allora $a+b+c>a+b$),quindi
$(1+a)^(n+1)>=(1+na)(1+a)>=1+(n+1)a$
ed il confronto fra primo ed ultimo membro è la tesi.
Grazie mille ora penso di aver capito
Questa è una dimostrazione che ho provato a fare per un altro esercizio. L' esercizio chiede di dimostrare per induzione a seguente ugualianza:
$ 2+4+6...+2n=n(n+1) $
per n=1 l' ugualianza risulta vera quindi prendo come ipotesi
$ 2+4+6...+2n=n(n+1) $
la tesi sarà:
$2+4+6..+2(n+1)=(n+1)(n+2) $
Ho proceduto in questo modo:
1) $ 2+4+6...+2n=n(n+1) $
2) sommo ad entrambi i membri dell' equazione $2(n+1)$
$2+4+6...+2n+2(n+1)=n(n+1)+2(n+1)$
$2+4+6...+2n+2(n+1)=(n+1)(n+2)$
e qui mi blocco non so come andare avanti..
Avrei pensato di sostituire $2+4+6...+2n$ con $n(n+1)$ per ipotesi e ciò rendeebbe l' ugualianza vera
ma non so se è corretto
$ 2+4+6...+2n=n(n+1) $
per n=1 l' ugualianza risulta vera quindi prendo come ipotesi
$ 2+4+6...+2n=n(n+1) $
la tesi sarà:
$2+4+6..+2(n+1)=(n+1)(n+2) $
Ho proceduto in questo modo:
1) $ 2+4+6...+2n=n(n+1) $
2) sommo ad entrambi i membri dell' equazione $2(n+1)$
$2+4+6...+2n+2(n+1)=n(n+1)+2(n+1)$
$2+4+6...+2n+2(n+1)=(n+1)(n+2)$
e qui mi blocco non so come andare avanti..
Avrei pensato di sostituire $2+4+6...+2n$ con $n(n+1)$ per ipotesi e ciò rendeebbe l' ugualianza vera
ma non so se è corretto
"BorisM":
$2+4+6...+2n+2(n+1)=n(n+1)+2(n+1)$
$2+4+6...+2n+2(n+1)=(n+1)(n+2)$
e qui mi blocco non so come andare avanti..
Dove vuoi andare? Sei già arrivato alla tesi!
"giammaria":
[quote="BorisM"]$2+4+6...+2n+2(n+1)=n(n+1)+2(n+1)$
$2+4+6...+2n+2(n+1)=(n+1)(n+2)$
e qui mi blocco non so come andare avanti..
Dove vuoi andare? Sei già arrivato alla tesi![/quote]
Non dovrei arrivare a $2+4+6...+2n=(n+1)(n+2)$ ?
No: guarda la tesi che tu stesso hai scritto nel penultimo post.
"giammaria":
No: guarda la tesi che tu stesso hai scritto nel penultimo post.
Si hai ragione ma mi veniva un $2n$ in piu che non mi convinceva
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