Primitive che differiscono per una costante

[vanpic]

Salve, come posso dimostrare che due funzioni diverse tra loro che però hanno la stessa derivata, possono solo differire per una costante ?
grazie

[Mephlip]

Ciao!

"vanpic":due funzioni diverse tra loro che però hanno la stessa derivata, possono solo differire per una costante

Scritto così, il risultato è falso.
Ad esempio, considera le funzioni $f:\mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$ e $g:\mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$ definite ponendo:
$$f(x)=\begin{cases} 1, \ \text{se} \ x >0 \\ -1, \ \text{se} \ x <0 \end{cases}$$
$$g(x)=\begin{cases} 2, \ \text{se} \ x >0 \\ -4, \ \text{se} \ x <0 \end{cases}$$
Entrambe sono derivabili su tutto $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ e hanno entrambe derivata $0$ per ogni $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, tuttavia non differiscono per una costante: per $x>0$ differiscono per la costante $c_1$ e per $x<0$ differiscono per un'altra costante $c_2 \ne c_1$.

L'esempio ti fa capire che, però, almeno sui singoli intervalli $I_1=(-\infty,0)$ e $I_2= (0,\infty)$, effettivamente le funzioni differiscono per una costante. Ciò è importantissimo: infatti, il teorema a cui ti riferisci richiede che le funzioni siano definite su un intervallo (osserva che l'insieme $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ non è un intervallo). Insomma, non contano solo le funzioni ma anche dove esse sono definite.

In tale ipotesi, ciò che dici è vero e puoi provare ad utilizzare il teorema di Lagrange per dimostrarlo (osserva che, infatti, il teorema di Lagrange ha come ipotesi il fatto di essere in un intervallo, e non in un insieme qualunque).

[Martino]

Un altro bell'esempio è $arctan(x)+arctan(1/x)$, che ha derivata nulla ma non è costante.