Potenze con esponente reale

[Ema20031]

Ciao a tutti, non capisco come mai nelle potenze ad esponente reale l'esponente debba essere $>0$. Ad esempio, $2^-sqrt2$ si può fare, che io sappia: lo riscrivo sotto forma di frazione, ossia $1/2^sqrt2$, che fa $0,3752...$ Quale sarebbe dunque il problema con esponenti reali negativi?

[giammaria2]

Hai frainteso: è la base che deve essere positiva. Ad esempio, non si può fare $(-3)^0.5$, dato che varrebbe $(-3)^(1/2)=sqrt(-3)$.
Il tuo ragionamento dice che l'esponente può invece essere negativo, purché la base sia diversa da zero: in questo caso infatti otterresti un denominatore nullo.

[Folpo13]

L'esponente può essere anche negativo come hai scritto te.

È la base che non può essere negativa in quanto una potenza con base negativa e un esponente $\notinNN$ non è definita:

$(-2)^3=-2^3$ perché ha esponente dispari e $(-2)^2=2^2$ per esponente pari

ma $(-2)^π$ è uguale a $-2^π$ o a $2^π$? Non ha senso dire che $π$ è pari o dispari.

Inoltre $(-8)^(1/3)$ sarebbe uguale a $root(3)(-8)=-2$ ma $(-8)^(1/2)$ ovviamente non è definibile in $RR$ perché sarebbe $=sqrt(-8)\notinRR$. Quindi ricordando che le potenze con esponenti in $RR$ si calcolano come approssimazioni di potenze in $QQ$, sarebbe definita la potenza $(-8)^π$?

[Ema20031]

D'accordo; ma allora non capisco la definizione che dà il libro: "In generale, si definisce la potenza $a^x$ di un numero reale $a>1$, che abbia esponente reale $x>0$, come quell'unico numero reale..." Poi naturalmente fa lo stesso discorso per i numeri compresi tra 0 e 1, ma sempre dicendo che $x>0$. Non so dunque se abbia capito male io o cosa...
Per quanto riguarda la tua domanda @Folpo13, direi di no; potrei avere, per esempio, $(-8)^(314/100)$, che è indefinito. Giusto?
Grazie comunque ad entrambi per avermi risposto! Buona serata

[Quinzio]

Credo che sia solo una formalita' per dare una definizione di potenza con esponente reale.
Poi, continuando nella spiegazione, il libro dira' sicuramente che $a^x = 1/(a^{-x})$. Da quel punto in poi la spiegazione copre anche il caso $x<0$.

[giammaria2]

@Ema2003
Come dice Quinzio, e come avevi già capito, sicuramente il libro considera poi il caso $x<0$: quindi alla fine non ci sono limitazioni sul segno di $x$. Tu non hai badato al fatto che i casi considerati sono $a>1$ e $0

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