Potenze con esponente frazionario

[marcus1121]

Semplificare questa espressione ricordando le proprietà delle potenze:

$(27^(1/2)+2*6^(1/2))^(1/2)$

Per semplificare questa espressione ho trasformato le potenze in radicali:

$sqrt(3*sqrt(3)+sqrt(24)) =sqrt(3*sqrt(3)+sqrt(3)*sqrt(8))=root(4)(3) *sqrt((3+sqrt(8)))$

$sqrt(3+sqrt(8))=sqrt((3+sqrt(9-8))/2)+sqrt((3-sqrt(9-8))/2)=sqrt((3+1)/2)+sqrt((3-1)/2)=sqrt(2)+1$

$sqrt(2)+1=2^(1/2)+1$

Quindi:$ 3^(1/4)*(2^(1/2)+1)=12^(1/4) + 3^(1/4)$

Ricordando le proprietà delle potenze e senza la trasformazione in radicali si può raggiungere lo stesso risultato?

[Nicole931]

sì; considero per ora solo i termini dentro la parentesi:

$3^(3/2)+2*2^(1/2)*3^(1/2) = 3^(1/2)*(3+2*2^(1/2))$

a questo punto posso scrivere diversamente quello che ho all'interno della seconda parentesi:

$(3+2*2^(1/2)) = (1+2+2*2^(1/2))$ questo è il quadrato di $(1+2^(1/2))$

quindi, elevando tutto alla $1/2$, il quadrato si semplifica (prodotto tra gli esponenti) e mi resta:

$3^(1/4)*(1+2^1/2)$ , che è lo stesso risultato che hai ottenuto tu

[marcus1121]

Ho provato a risolvere:

$(8+48^(1/2))^(1/2)=(8+4*3^(1/2))^(1/2)$

ma ti ripeto senza usare la formula dei radicali doppi non ci sarei riuscito.

Sapere che $ (8+4*3^(1/2))^(1/2) $è il quadrato di .....io ci arrivo solo con la formula e poi riporto il tutto sotto forma di potenze con esponente frazionario.

Mi fai vedere come ci arrivi tu solo con le proprietà delle potenze?

[Nicole931]

questo è più semplice, infatti basta scomporre 48 in fattori primi :$48=2^4*3$

adesso elevo i singoli fattori alla $1/2$ : $2^(4/2)*3^(1/2)=2^2*3^(1/2)$

quindi si ottiene proprio $(8+4*3^(1/2))^(1/2)$