Potenze ad esponente razionale

[ragoo1]

Salve.

Qual è il modo *intelligente* di risolvere questa follia? Per modo intelligente intendo il modo facile. Meno passaggi e meno tempo servono a poco se poi finisco con lo sbagliare il calcolo.

$(a^2b^-2c^-3)^(1/3)*(a^-2b^(1/2)c)^(1/2)$

In linea di principio sono del parere che i radicali devono essere evitati come la peste, se possibile, a maggior ragione considerando che là in mezzo c'è un $b^(1/2)$ che non promette nulla di buono. Quindi io partirei col risolvere le potenze di potenze, applicando al contempo la proprietà associativa della moltiplicazione:

$(a^(2/3)*a^(-1))*(b^(-2/3)*b^(1/4))*(c^(-1)*c^(1/2))$

Ora riduco allo stesso denominatore gli esponenti:

$a^((2-3)/3)*b^((-8+3)/12)*c^((-2+1)/2)=a^(-1/3)*b^(-5/12)*c^(-1/2)$

Negativi ovviamente, ma immagino potesse andare peggio...

$1/a^(1/3)*1/b^(5/12)*1/c^(1/2)$

Quindi converto il tutto in radicali (non avendo alternative), li riduco allo stesso indice, eseguo la moltiplicazione e razionalizzo il denominatore:

$1/(root(3)(a)*root(12)(b^5)*sqrt(c))=1/(root(12)(a^4)*root(12)(b^5)*root(12)(c^6))=1/root(12)(a^4b^5c^6)=root(12)(a^8b^7c^6)/(abc)$

Penso di avere trovato il modo semplice, ma magari c'è un'alternativa migliore.

[Noodles1]

Visto il titolo, chi ha proposto l'esercizio si aspetta che si applichino le proprietà delle potenze. Insomma, non avrebbe molto senso procedere così:

$\{(a ne 0),(b gt 0),(c gt 0):}$

$root(3)(a^2/(b^2c^3))*sqrt((csqrtb)/a^2)=root(3)(a^2/(b^2c^3))*sqrt(sqrt((bc^2)/a^4))=root(3)(a^2/(b^2c^3))*root(4)((bc^2)/a^4)=root(12)(a^8/(b^8c^12))*root(12)((b^3c^6)/a^12)=1/root(12)(a^4b^5c^6)=root(12)(a^8b^7c^6)/(|a|bc)$

Per curiosità, la soluzione riportata dal libro contempla quel valore assoluto?

[ragoo1]

In verità la soluzione riportata è solo $1/(root(12)(a^4b^5c^6)$. Non razionalizza il denominatore, cosa che ho trovato curiosa.

Così come, in effetti, ho trovato curioso il fatto che la consegna dica "nell'insieme dei numeri assoluti eseguire le seguenti operazioni sulle potenze ad esponente razionale". Numeri assoluti ed esponenti negativi. Boh!

Qui come hai fatto a inserire il denominatore nella radice?

$sqrt((csqrt(b))/a^2)=sqrt(sqrt((bc^2)/a^4)$

Ah, così:

$sqrt((csqrt(b))/a^2)=sqrt(sqrt(bc^2)/sqrt(a^4))=sqrt(sqrt((bc^2)/a^4)$

[Noodles1]

"ragoo":
In verità la soluzione riportata è solo $1/(root(12)(a^4b^5c^6)$.

Peccato, si potevano dedurre le condizioni iniziali:

$\{(a ne 0),(b gt 0),(c gt 0):} rarr root(3)(a^2/(b^2c^3))*sqrt((csqrtb)/a^2)=root(12)(a^8b^7c^6)/(|a|bc)$

oppure:

$\{(a gt 0),(b gt 0),(c gt 0):} rarr root(3)(a^2/(b^2c^3))*sqrt((csqrtb)/a^2)=root(12)(a^8b^7c^6)/(abc)$

Vero è che, alla luce dell'identità precedente, propenderei per la seconda ipotesi.

"ragoo":
Non razionalizza il denominatore ...

Ci sta (avresti dovuto scrivere che non razionalizza la frazione).

"ragoo":
Numeri assoluti ed esponenti negativi. Boh!

Tipicamente, il riferimento all'insieme dei numeri assoluti coinvolge solo le basi delle potenze. A questo punto, poichè le basi dell'identità precedente erano quattro, per quanto riguarda le condizioni iniziali:

$\{(xy gt= 0),(x+y+2sqrt(xy) gt= 0),(x+y-2sqrt(xy) gt= 0),(x-y gt= 0):}$

Motivo per cui:

$root(4)(x+y+2sqrt(xy))*root(4)(x+y-2sqrt(xy))=sqrt(x-y)$

è vera senza scomodare il valore assoluto.

[ragoo1]

"Noodles":Peccato, si potevano dedurre le condizioni iniziali [...]

Io credo che la consegna stessa imponga la condizione iniziale:

$\{(a>=0),(b>=0),(c>=0):}$

Se l'insieme numerico in cui si deve operare è $RR^+$, allora le incognite non possono essere negative.

Dopodiché, qui ci sono esponenti negativi su tutte e tre le incognite, quindi bisogna aggiungere l'ulteriore condizione che non possono essere nulle:

$\{(a>0),(b>0),(c>0):}$

"Noodles":A questo punto, poichè le basi dell'identità precedente erano quattro, per quanto riguarda le condizioni iniziali:

$\{(xy gt= 0),(x+y+2sqrt(xy) gt= 0),(x+y-2sqrt(xy) gt= 0),(x-y gt= 0):}$

Anche lì, la consegna dice "nell'insieme dei numeri assoluti verifica le seguenti identità".

Quindi il presupposto dovrebbe essere che:

$\{(x>=0),(y>=0):}$

Se ho ragione, $xy$ e $x+y+2sqrt(xy)$ non sono un problema. $x+y-2sqrt(xy)$ e $x-y$ sono un problema, ma secondo me non tanto per le condizioni di esistenza dei radicali.

In $RR^+$, non ci possono proprio essere valori negativi. Un'operazione come $x-y$, indipendentemente dal fatto che sia dentro o fuori una radice di indice pari, è possibile in $RR^+$ solo se $x>y$, no?

Ora, così è come ho interpretato tutti questi esercizi fino ad ora. Sto prendendo un granchio colossale?

[Noodles1]

Ai miei tempi, prima di svolgere un qualsiasi esercizio comprendente un radicale:

$root(n)(a)$

dopo aver discusso il campo di esistenza:

n pari

$a gt=0$

n dispari

$AA a in RR$

si distinguevano i radicali aritmetici, radicando e radicale non negativi, solo per fare due esempi:

$root(2)4=2$

$root(3)8=2$

da quelli algebrici, solo per fare due esempi:

$root(2)4=-2$

$root(3)-8=-2$

Ebbene, la stragrande maggioranza degli esercizi riguardava i radicali aritmetici. Gli esercizi sui radicali algebrici erano, non solo in numero molto limitato, ma anche rilegati in fondo al capitolo. Insomma, non essendo tipicamente richiesti, non li faceva nessuno. Vero è che, almeno per quanto riguarda i radicali aritmetici, le soluzioni contemplavano, quando necessario, il valore assoluto. Per ottenere fedelmente la soluzione riportata dal testo era necessario imporre le condizioni iniziali richieste dai radicali aritmetici, solo per fare un esempio:

$\{(a ne 0),(b gt 0),(c gt 0):}$

$root(3)(a^2/(b^2c^3))*sqrt((csqrtb)/a^2)=root(12)(a^8b^7c^6)/(|a|bc)$

Inutile dire che era necessaria una certa abilità. La mia impressione è che, negli ultimi anni, questa abilità non sia più richiesta. Forza bruta insomma: ciò che conta è applicare più o meno correttamente (senza condizionarle più di tanto) le proprietà dei radicali e, del resto (la vera ciccia), chissenefrega.

[ragoo1]

Sul mio libro i radicali sono spiegati in due capitoli. Il primo si intitola "I radicali nell'insieme dei numeri assoluti"; il secondo si intitola "I radicali nell'insieme dei numeri relativi". Le condizioni di esistenza dei radicali sono spiegate nel secondo, proprio nel paragrafo iniziale.

Questi esercizi si riferiscono al primo capitolo.

[Noodles1]

Il primo capitolo dovrebbe contemplare una sezione relativa al trasporto di un fattore sotto il segno di radice. Non so se la soluzione relativa ad un esercizio come questo:

$(x-y)root(3)(1/(x-y)^2)$

$AA x in RR$

$AA y in RR$

$x ne y$

$[x gt y] rarr [root(3)((x-y)^3/(x-y)^2)=root(3)(x-y)]$

$[x lt y] rarr [ -(y-x)root(3)(1/(x-y)^2)=-root(3)((y-x)^3/(y-x)^2)=-root(3)(y-x)]$

riporti due casi. Probabilmente no.

[axpgn]

A me sembra nient'altro che uno dei milioni di esercizi dati per fare pratica con le proprietà delle potenze, niente di più.

[@melia]

"axpgn":A me sembra nient'altro che uno dei milioni di esercizi dati per fare pratica con le proprietà delle potenze, niente di più.

Concordo