Potenza di potenza e esponenziali

[Stillife]

Ciao a tutti,

svolgendo varie disequazioni esponenziali sono preso da un dubbio basilare sulla proprietà di potenza di potenza:

Consideriamo la disequazione:

$e^(3x)+e^x>=e^(2x+x^2)+e^(x^2)$

Per comdodità la riscriverei come:

$e^(x^3)+e^x>=e^(x^2)*e^(x^2)+e^(x^2)$

in modo da porre $s=e^x$ e dunque avere:

$s^3+s>=s^2*s^2+s^2$

Ora, non capisco se quanto scritto sopra è corretto; una scrittura del tipo $a^(b^c)$ equivale a scrivere $(a^b)^c$ e dunque $a^(b*c)$?

[axpgn]

No.

D'altronde [size=150]$(a^b)^c=a^(bc)!=a^(b^c)$[/size]

[@melia]

Se quiesta è la disequazione che ti interessa $ e^(3x)+e^x>=e^(2x+x^2)+e^(x^2) $

puoi riscrivere il primo membro così $ e^(3x)+e^x=e^x(e^(2x)+1)$
e il secondo cosà $e^(2x+x^2)+e^(x^2)=e^(x^2)(e^(2x)+1)$

La disequazione si trasforma in $e^x(e^(2x)+1)-e^(x^2)(e^(2x)+1)>=0$ da cui $(e^x-e^(x^2))(e^(2x)+1)>=0$

[Stillife]

@axpgn

Ti dirò che sono andato a vedere altri esercizi da me svolti ed ho sempre distinto adeguatamente i casi...non so perchè proprio adesso mi prende quel dubbio, suppongo succede quando si tende a dare le cose per scontate.
Grazie per il chiarimento.

@@melia

Avevo agito (quasi) proprio come dici tu: riscrivo come $(e^x)^3+e^x>=(e^x)^2*e^(x^2)+e^(x^2)$

raccolgo:

$e^x[(e^x)^2+1]<=e^(x^2)[(e^x)^2+1]$

divido entrambi per $[(e^x)^2+1]$ (lo posso fare poichè una quantita senz'altro positiva che non rischia di cambiare verso della disequazione), ottengo:

$e^x<=e^(x^2)$ e dunque $x<=x^2$ che ha soluzioni $x<=0 vv x>=1$

EDIT:

Magari quella di dividere per $[(e^x)^2+1]$ non è una mossa saggia, o meglio lo è se considero i reali, in quanto l'equazione $(e^x)^2=-1$ non ha soluzioni in $RR$

[giammaria2]

E' una mossa saggia dividere per $(e^(x^2)+1)$ e devi certamente considerare i reali perché in campo complesso non sono definite le relazioni maggiore e minore e quindi non hanno senso le disequazioni.
Però attento ad un tuo errore: si ha $(e^x)^2=e^(2x)$ e quindi $(e^x)^2 !=e^(x^2)$