Positività di una funzione

[johnnny1]

Salve ragazzi, ho un problema nel calcolo della positività della seguente funzione :

[tex]\frac{2nlog_2(n)+n-8log_2(n)}{nlog_2(n)}[/tex]

Ho iniziato a semplificarla giungendo a tale disequazione :

[tex]2+\frac{1}{log_2(n)}-\frac{8}{n} > 0[/tex]

C'è qualcuno che con pazienza può indicarmi la soluzione passaggio per passaggio?

[axpgn]

Perché non provi a studiare il segno di NUM e DEN separatamente come una qualsiasi disequazione (prima della semplificazione, ovviamente)?
E poi $n$ cos'è: reale o naturale?

Cordialmente, Alex

[johnnny1]

n è un naturale.
Giusto, posso anche studiarlo separatamente. Proprio quì volevo chiarirmi un dubbio, se non studio separatamente num e den ma moltiplico ambo i membri per la quantità che ho al denominatore, ottengo in pratica solo la quantità del numeratore maggiore di 0, perchè il resto viene eliminato. E' corretto comunque seguire questa strada ?

[stormy1]

se hai a che fare con numeri naturali si può risolvere in maniera empirica con la semplificazione che hai fatto
fino a $n=3$ ,la quantità che hai scritto è negativa
da $n=4$ in poi è sempre positiva perchè $log_2n$ cresce molto più lentamenta di $n$

[mazzarri1]

Vedo una possibile semplificazione al numeratore considerando che
$ n = log 2 ^n $
ciao

[retrocomputer]

Forse si potrebbe trasformare il numeratore in un unico logaritmo utilizzando le regolette della somma e differenza di logaritmi e il prodotto di un numero per un logaritmo e poi studiare dove l'argomento è maggiore di 1...

[retrocomputer]

"mazzarri":Vedo una possibile semplificazione al numeratore considerando che
$ n = log 2 ^n $
ciao

Sì, volevo proprio usare questo fatto...

[johnnny1]

Si giusto, mi trovo posso ottenere tutti logaritmi.
Ma la domanda postata prima è giusta o sbagliata ?
Cioè nello studio della positività, posso moltiplicare ambo i membri per la quantità del denominatore, in modo da poter lavorare solo sul numeratore ? Posso sempre eseguire questa operazione ?

[retrocomputer]

Mi pare che il denominatore sia strettamente positivo per $n>1$ e in tali casi lo puoi ignorare. Per $n=1$ il denominatore si annulla e la funzione non è definita.

[johnnny1]

Grazie mille ragazzi

[stormy1]

se volete risolvere $2nlog_2n+n-8log_2n>0$ come una normale disequazione vi faccio i più sentiti in bocca al lupo
ne avete bisogno
vi ricordo che già la disequazione $x+lnx>0$ non è risolvibile per via algebrica

edit: ci sarà un motivo per il quale è stata ristretta ai soli numeri naturali ?

[retrocomputer]

Non credo che qualcuno voglia risolverla così. Si trasforma in un solo argomento, si prova che l'argomento è crescente e si vede da che $n$ diventa sempre maggiore di 1, no?

[retrocomputer]

"stormy":
ne avete bisogno

Ma tu sei per caso il tale che se n'era andato dal forum incazzatissimo?

[stormy1]

sì,poi non vi ho voluto dare questa soddisfazione

comunque,riguardo all'esercizio,se vi piace complicarvi la vita è un vostro diritto

[axpgn]

@stormy
Per caso non si possono studiare NUM e DEN empiricamente come hai fatto tu? Perché credi che gli abbia chiesto se $n$ era naturale?
Almeno si esercita un po' con i logaritmi ...

Cordialmente, Alex

[stormy1]

il tuo post delle 12:16 sembrava dire altro
comunque,ripeto,fate come volete(e ci mancherebbe altro)

[axpgn]

Dato che siamo nelle superiori e a inizio anno mi sembrava (più) logico che l'esercizio servisse per risolvere disequazioni e far pratica con i logaritmi, non semplicemente "una stima" del risultato.
Detto in altro modo: il "normale" processo risolutivo sarà inutile per la soluzione ma non per l'apprendimento ... IMHO

Cordialmente, Alex

[retrocomputer]

"stormy":sì,poi non vi ho voluto dare questa soddisfazione

Soddisfazione? Stai scherzando, vero? Avevo già comprato i pop corn per il prossimo flame

[johnnny1]

"axpgn":Dato che siamo nelle superiori e a inizio anno mi sembrava (più) logico che l'esercizio servisse per risolvere disequazioni e far pratica con i logaritmi, non semplicemente "una stima" del risultato.
Detto in altro modo: il "normale" processo risolutivo sarà inutile per la soluzione ma non per l'apprendimento ... IMHO

Ragazzi in realtà io sono alla facoltà di Informatica, quindi non è un esercizio delle superiori, l'ho messo qui perchè questo particolare contenuto lo vedevo più adatto a questa categoria, dato che si tratta di determinare la crescenza di tale funzione.
In realtà l'esercizio originale chiede di determinare se una funzione e in particolare [tex]{e^n-2^n} = \Theta(e^n)[/tex] e in più trovare le costanti necessarie affinchè possa valere questa relazione. Per far ciò dopo aver determinato che la relazione di Theta sia verificata si passa al calcolo delle costanti effettuando e determinando la crescenza e positività della funzione rapporto.
Spero di esser stato chiaro, e che non abbia sbagliato a postare qui questo contenuto,

[stormy1]

"retrocomputer":[quote="stormy"]sì,poi non vi ho voluto dare questa soddisfazione

Soddisfazione? Stai scherzando, vero? Avevo già comprato i pop corn per il prossimo flame [/quote]

poi sarei io quello che provoca...