Polo polare circonferenza
Ciao, amici!
Sto leggendo un formulario senza dimostrazioni, che, se non le conosco già e non le ho sui miei libri, provo a dedurre da solo o cerco su Internet sistematicamente, ma mi sono imbattuto in una formula geometrico-analitica di cui non trovo dimostrazione, anche se ho l'impressione che non sia difficilissima...
Si tratta della formula secondo cui le coordinate del polo $P_0$ della polare, di formula $\barax+\barby+\barc=0$, di una circonferenza, sono $(-(\barar^2)/\barc,-(\barbr^2)/\barc)$.
Ora, mi è chiaro che, chiamato $(\alpha,\beta)$ il centro della circonferenza, la sua equazione è $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2$ e quella della polare è $(x-\alpha)(x_0-\alpha)+(y-\beta)(y_0-\beta)-r^2=0$, per cui direi che, osservando semplicemente che $\barax+\barby+\barc=(x-\alpha)(x_0-\alpha)+(y-\beta)(y_0-\beta)-r^2=0$, si ha che $\bara=x_0-\alpha$, $\barb=y_0-\beta$ e $\barc=\alpha^2+\beta^2-r^2-\alphax_0-\betay_0$, ma più in là di così non vado
se non sostituendo l'ascissa del polo con
$-(\barar^2)/\barc=((\alpha-x_0)r^2)/(\alpha^2+\beta^2-r^2-\alphax_0-\betay_0)$ e l'ordinata del polo con
$-(\barbr^2)/\barc=((\beta-y_0)r^2)/(\alpha^2+\beta^2-r^2-\alphax_0-\betay_0)$
che dovrebbero eguagliare rispettivamente $x_0$ e $y_0$, ma non so come arrivarci...
Qualcuno è così gentile da darmi qualche spunto...?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Davide
Sto leggendo un formulario senza dimostrazioni, che, se non le conosco già e non le ho sui miei libri, provo a dedurre da solo o cerco su Internet sistematicamente, ma mi sono imbattuto in una formula geometrico-analitica di cui non trovo dimostrazione, anche se ho l'impressione che non sia difficilissima...
Si tratta della formula secondo cui le coordinate del polo $P_0$ della polare, di formula $\barax+\barby+\barc=0$, di una circonferenza, sono $(-(\barar^2)/\barc,-(\barbr^2)/\barc)$.
Ora, mi è chiaro che, chiamato $(\alpha,\beta)$ il centro della circonferenza, la sua equazione è $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2$ e quella della polare è $(x-\alpha)(x_0-\alpha)+(y-\beta)(y_0-\beta)-r^2=0$, per cui direi che, osservando semplicemente che $\barax+\barby+\barc=(x-\alpha)(x_0-\alpha)+(y-\beta)(y_0-\beta)-r^2=0$, si ha che $\bara=x_0-\alpha$, $\barb=y_0-\beta$ e $\barc=\alpha^2+\beta^2-r^2-\alphax_0-\betay_0$, ma più in là di così non vado
se non sostituendo l'ascissa del polo con$-(\barar^2)/\barc=((\alpha-x_0)r^2)/(\alpha^2+\beta^2-r^2-\alphax_0-\betay_0)$ e l'ordinata del polo con
$-(\barbr^2)/\barc=((\beta-y_0)r^2)/(\alpha^2+\beta^2-r^2-\alphax_0-\betay_0)$
che dovrebbero eguagliare rispettivamente $x_0$ e $y_0$, ma non so come arrivarci...
Qualcuno è così gentile da darmi qualche spunto...?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Davide
Risposte
Ho provato a verificare le coordinate $(-(\barar^2)/\barc,-(\barbr^2)/\barc)$ sostituendole nell'equazione di una retta perpendicolare ad un'altra di equazione $ax+by+c=0$ e passante per unpunto $P_0(x_0,y_0)$, che è $b(x-x_0)-a(y-y_0)=0$.
Mi è chiaro che la retta passante per il polo e perpendicolare alla retta polare $\barax+\barby+\barc=0$ è la retta su cui si trovano il polo ed il centro della circonferenza, che ha quindi equazione, chiamando $ x_0$ e $y_0$ l'ascissa e l'ordinata del polo:
$\barb(x-x_0)-\bara(y-y_0)=0$ che , se il polo è $(-(\barar^2)/\barc,-(\barbr^2)/\barc)$, diventa
$\barb(x+(\barar^2)/\barc)-\bara(y+(\barbr^2)/\barc)=0$
cioè $\barbx-\baray=0$, che è una retta che passa necessariamente per l'origine, mentre la retta su cui si trovano il polo ed il centro della circonferenza direi che non passa sempre per l'origine, quindi comincio a dubitare che il polo abbia sempre le coordinate $(-(\barar^2)/\barc,-(\barbr^2)/\barc)$... O il caldo mi sta dando alla testa?
Grazie di cuore a tutti!!!
Mi è chiaro che la retta passante per il polo e perpendicolare alla retta polare $\barax+\barby+\barc=0$ è la retta su cui si trovano il polo ed il centro della circonferenza, che ha quindi equazione, chiamando $ x_0$ e $y_0$ l'ascissa e l'ordinata del polo:
$\barb(x-x_0)-\bara(y-y_0)=0$ che , se il polo è $(-(\barar^2)/\barc,-(\barbr^2)/\barc)$, diventa
$\barb(x+(\barar^2)/\barc)-\bara(y+(\barbr^2)/\barc)=0$
cioè $\barbx-\baray=0$, che è una retta che passa necessariamente per l'origine, mentre la retta su cui si trovano il polo ed il centro della circonferenza direi che non passa sempre per l'origine, quindi comincio a dubitare che il polo abbia sempre le coordinate $(-(\barar^2)/\barc,-(\barbr^2)/\barc)$... O il caldo mi sta dando alla testa?
Grazie di cuore a tutti!!!
Le formule che hai trovato per il polo valgono solo se la circonferenza ha centro nell'origine. Il mio ragionamento è stato questo: la circonferenza abbia equazione $x^2+y^2-2 alpha x-2 beta y+alpha^2+beta^2-r^2=0$ e il polo sia $P(u,v)$. Trovi facilmente che la polare è
$x(u-alpha)+y(v-beta)-alpha u-beta v+alpha^2+beta^2-r^2=0$
e coincide con la retta $ax+by+c=0$ se
${(u-alpha=ka),(v-beta=kb),(-alpha u-beta v+alpha^2+beta^2-r^2=kc):}$
Supponendo $c!=0$, ho ricavato $k$ dall'ultima equazione e l'ho sostituito nelle altre, ricavando poi le incognite $u,v$. Ottengo formule piuttosto brutte ma che si riducono alle tue se $alpha=beta=0$ (e forse anche in qualche altro caso: non ho controllato che questa condizione sia necessaria ma è certo sufficiente).
$x(u-alpha)+y(v-beta)-alpha u-beta v+alpha^2+beta^2-r^2=0$
e coincide con la retta $ax+by+c=0$ se
${(u-alpha=ka),(v-beta=kb),(-alpha u-beta v+alpha^2+beta^2-r^2=kc):}$
Supponendo $c!=0$, ho ricavato $k$ dall'ultima equazione e l'ho sostituito nelle altre, ricavando poi le incognite $u,v$. Ottengo formule piuttosto brutte ma che si riducono alle tue se $alpha=beta=0$ (e forse anche in qualche altro caso: non ho controllato che questa condizione sia necessaria ma è certo sufficiente).
$+oo$ grazie, Giammaria!!! Il mio libretto dava le coordinate come se valessero in generale, ma non è ovviamente così...
Ciao!!!
Ciao!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo