Polinomi
a e b sono due numeri reali che soddisfano
le relazioni:
a^3-6a^2+15a-13=0;b^3-6b^2+15b-15=0;
Calcolare a+b
karl.
le relazioni:
a^3-6a^2+15a-13=0;b^3-6b^2+15b-15=0;
Calcolare a+b
karl.
Risposte
Sommando membro a membro le due relazioni e ordinando si ha:
a^3 + b^3 - 6a^2 - 6b^2 + 15a + 15b - 28 = 0
(a + b)(a^2 + ab + b^2) - 6(a + b)(a - b) + 15(a + b) = 28
Adesso andrei avanti ponendo a + b = x , ma trovo alcune difficoltà...
a^3 + b^3 - 6a^2 - 6b^2 + 15a + 15b - 28 = 0
(a + b)(a^2 + ab + b^2) - 6(a + b)(a - b) + 15(a + b) = 28
Adesso andrei avanti ponendo a + b = x , ma trovo alcune difficoltà...
Per fire
Il tuo metodo nn può risolvere la questione in quanto,anke se metti la differenza a-b in funzione di a+b con la formula
a-b=sqrt((+b)[xx(]-4ab))
ti rimane il prodotto ab
Inoltre la questione nn ha soluzione con Ruffini in quanto come ora vedrai le 2 equazioni ammettono un unica radice reale che nn è banalmente razionale ma irrazionale.
Definiamo discriminante dell'equazione di 3° grado l quantità
p^3+q^2
con p=(3ac-b^2)/9a^2 e q=(9abc-2b^3-27ad)/54a^2
Puoi verificare numericamente che il discriminante in entrambe le equazioni è uguale a 5/4 e quindi positivo.
In effetti è possibile dimostrare che per delta>0 l'equzione ammette 1 unica radice reale e 2 immaginarie.Questa rdice reale in qualsiasi equazione di 3°grado è:
x=-b/3a +(A+B)
con A=SQRT(3) (q+sqrt(delta)) B=SQRT(3) (q-sqrt(delta))
con p=(3ac-b^2)/9a^2 e q=(9abc-2b^3-27ad)/54a^2
Nota:sqrt(3)=radice cubica
Per la prima equazione viene:
a=2+sqrt(3) ((sqrt5 -1)/2) - sqrt(3) ((sqrt5+1)/2)
b=2+sqrt(3) ((sqrt5 +1)/2) - sqrt(3) ((sqrt5-1)/2)
da cui sommando membro a membro
a+b=4
L'esercizio richiedeva solo una approfondita conoscenza delle equazioni di 3°grado
Il tuo metodo nn può risolvere la questione in quanto,anke se metti la differenza a-b in funzione di a+b con la formula
a-b=sqrt((+b)[xx(]-4ab))
ti rimane il prodotto ab
Inoltre la questione nn ha soluzione con Ruffini in quanto come ora vedrai le 2 equazioni ammettono un unica radice reale che nn è banalmente razionale ma irrazionale.
Definiamo discriminante dell'equazione di 3° grado l quantità
p^3+q^2
con p=(3ac-b^2)/9a^2 e q=(9abc-2b^3-27ad)/54a^2
Puoi verificare numericamente che il discriminante in entrambe le equazioni è uguale a 5/4 e quindi positivo.
In effetti è possibile dimostrare che per delta>0 l'equzione ammette 1 unica radice reale e 2 immaginarie.Questa rdice reale in qualsiasi equazione di 3°grado è:
x=-b/3a +(A+B)
con A=SQRT(3) (q+sqrt(delta)) B=SQRT(3) (q-sqrt(delta))
con p=(3ac-b^2)/9a^2 e q=(9abc-2b^3-27ad)/54a^2
Nota:sqrt(3)=radice cubica
Per la prima equazione viene:
a=2+sqrt(3) ((sqrt5 -1)/2) - sqrt(3) ((sqrt5+1)/2)
b=2+sqrt(3) ((sqrt5 +1)/2) - sqrt(3) ((sqrt5-1)/2)
da cui sommando membro a membro
a+b=4
L'esercizio richiedeva solo una approfondita conoscenza delle equazioni di 3°grado
Ah, ecco perché! Io a scuola non ho mai sentito
parlare di "discriminante" dell'equazione di terzo grado.
Complimenti denn per la soluzione!
parlare di "discriminante" dell'equazione di terzo grado.
Complimenti denn per la soluzione!
Non c'è niente da stupirsi se i calcolatori come ad esempio derive ti forniscono le soluzioni con radicali per equazione fino al 4°grado.Se ti interessa l'argomento vai su
http://www.vialattea.net/esperti/mat/po ... linomi.htm
NB(prima però leggi l'articolo):Il fatto che impongano il cambio di variabile
=y-b/3a per deprimere l'equazione di 3°grado nn è una cosa che si sn inventati i matematici:
se infatti poni x=y+t con t un parametro ausiliario hai l'equazione:
ay^3+(b+3at)y^2+(3at^2+2bt+c)y+at^3+bt^2+ct+d=0
noti ke per t=-b/3a l'equazione perde il termine biquadratico
per 3at^2+2bt+c=0 si annulla penultimo coefficente
per at^3+bt^2+ct+d=0 si applica il teorema di Ruffini.
Nota che per annullare il termine di 1°grado puoi incorrere a un'equazione con coefficenti immaginari,e che nn è possibile con un sostituzione abbassare il grado di equazione
http://www.vialattea.net/esperti/mat/po ... linomi.htm
NB(prima però leggi l'articolo):Il fatto che impongano il cambio di variabile
=y-b/3a per deprimere l'equazione di 3°grado nn è una cosa che si sn inventati i matematici:se infatti poni x=y+t con t un parametro ausiliario hai l'equazione:
ay^3+(b+3at)y^2+(3at^2+2bt+c)y+at^3+bt^2+ct+d=0
noti ke per t=-b/3a l'equazione perde il termine biquadratico
per 3at^2+2bt+c=0 si annulla penultimo coefficente
per at^3+bt^2+ct+d=0 si applica il teorema di Ruffini.
Nota che per annullare il termine di 1°grado puoi incorrere a un'equazione con coefficenti immaginari,e che nn è possibile con un sostituzione abbassare il grado di equazione
Il quesito non richiede conoscenze superiori
a quelle di una 2°-3°liceo scientifico,altrimenti
non l'avrei postato qui.
Se volete provarci ancora vi do un aiutino:
ponete a+b=k.Troverete k=4 ,come risulta anche a
denn (sia pure con un procedimento non necessario).
karl.
a quelle di una 2°-3°liceo scientifico,altrimenti
non l'avrei postato qui.
Se volete provarci ancora vi do un aiutino:
ponete a+b=k.Troverete k=4 ,come risulta anche a
denn (sia pure con un procedimento non necessario).
karl.
Francamente non sò di ke metodo tu stai parlando.Ad ogni modo esiste un'altra via per arrivare alla stessa soluzione:
Sommando le 2 equazioni si ha:
a[:(]-6a[xx(]+15a+b[:(]-6b[xx(]+15b-28=0
Nessuno ci vieta di imporre un cambio di varibile:
b=t-a
con t un parametro ausilario.
Sostituendo l'equazione si abbassa di grado in a:
3a[xx(](t-4)+3at(4-t)+t[:(]-6t[xx(]+15t-28=0
Usando il limite:
lim(a->oo)t=4
Il fatto che il polinomio t[:(]-6t[xx(]+15t-28 si annulli pure per t=4 ci permette di dire che t nn è variabile ma costante.
Quindi:
a+b=4
Sommando le 2 equazioni si ha:
a[:(]-6a[xx(]+15a+b[:(]-6b[xx(]+15b-28=0
Nessuno ci vieta di imporre un cambio di varibile:
b=t-a
con t un parametro ausilario.
Sostituendo l'equazione si abbassa di grado in a:
3a[xx(](t-4)+3at(4-t)+t[:(]-6t[xx(]+15t-28=0
Usando il limite:
lim(a->oo)t=4
Il fatto che il polinomio t[:(]-6t[xx(]+15t-28 si annulli pure per t=4 ci permette di dire che t nn è variabile ma costante.
Quindi:
a+b=4
Allora, dato che sappiamo già il risultato, basta porre
a=4-c nella prima, svolgere i calcoli e verificare che viene esattamente la seconda equazione, con la b al posto di c. Il risultato è immediato...
Come avremmo potuto fare senza saperlo?
La nostra sostituzione equivale ad una traslazione della funzione, di modo che le due curve si sovrappongano... Si tiene incognito il valore della traslazione e poi si applica il principio di identità dei polinomi (credo funzioni ma nn ho provato). Oppure, i calcoli credo vengano esattamente uguali, si pone a=x-b e si risolve la nostra equazione di terzo grado, che avrà una sol reale e due immaginarie (il metodo di karl credo)... Ora nn ho provato a fare tutto questo, ma nn importa...
cmq karl, ho visto che ti sei lamentato che nn viene proposta geometria (che a me piace, sottolineo, anche se conosco solo quella euclidea e qualche accenno di proiettiva da Piero Angela) ma in fondo nn la proponi mai come esercizio...[ora questo nn vuol dire: "proponila che ci provo!" nn mi voglio compromettere in questa maniera!]
a=4-c nella prima, svolgere i calcoli e verificare che viene esattamente la seconda equazione, con la b al posto di c. Il risultato è immediato...
Come avremmo potuto fare senza saperlo?
La nostra sostituzione equivale ad una traslazione della funzione, di modo che le due curve si sovrappongano... Si tiene incognito il valore della traslazione e poi si applica il principio di identità dei polinomi (credo funzioni ma nn ho provato). Oppure, i calcoli credo vengano esattamente uguali, si pone a=x-b e si risolve la nostra equazione di terzo grado, che avrà una sol reale e due immaginarie (il metodo di karl credo)... Ora nn ho provato a fare tutto questo, ma nn importa...
cmq karl, ho visto che ti sei lamentato che nn viene proposta geometria (che a me piace, sottolineo, anche se conosco solo quella euclidea e qualche accenno di proiettiva da Piero Angela) ma in fondo nn la proponi mai come esercizio...[ora questo nn vuol dire: "proponila che ci provo!" nn mi voglio compromettere in questa maniera!]
La risposta di Thomas e' quella giusta.
E' sufficiente porre a=k-b,sostituire
questo valore nella 1° delle due equazioni,
fare i calcoli e confrontare poi
le 2 equazioni nella variabile b che si ottengono.
Esse devono avere i coefficienti proporzionali
(dato che l'incognita e' la stessa) e da qua
si ricava k=4 (tutti calcoli elementari).
C'e' un metodo alternativo non altrettanto
elementare,eventualmente lo postero'.
Per Thomas:la geometria sintetica ,come ben sai,
mi appassiona (per quel tanto che mi riesce!)
e in passato ho tentato di risvegliare qualche
interesse ma purtroppo senza grandi riscontri.
D'altra parte sappiamo tutti e due dove... attingere .
karl.
E' sufficiente porre a=k-b,sostituire
questo valore nella 1° delle due equazioni,
fare i calcoli e confrontare poi
le 2 equazioni nella variabile b che si ottengono.
Esse devono avere i coefficienti proporzionali
(dato che l'incognita e' la stessa) e da qua
si ricava k=4 (tutti calcoli elementari).
C'e' un metodo alternativo non altrettanto
elementare,eventualmente lo postero'.
Per Thomas:la geometria sintetica ,come ben sai,
mi appassiona (per quel tanto che mi riesce!)
e in passato ho tentato di risvegliare qualche
interesse ma purtroppo senza grandi riscontri.
D'altra parte sappiamo tutti e due dove... attingere .
karl.
Si ha :
(k-b)^3-6(k-b)^2+15(k-b)-13=0
Facendo i calcoli:
b^3+(-3k+6)b^2+(3k^2-12k+15)b+(-k^3+6k^2-15k+13)=0
Confrontando con l'equazione b^3-6b^2+15b-15=0 risulta
(tenendo conto che i primi coeff. sono uguali):
-3k+6=-6;3k^2-12k+15=15;-k^3+6k^2-15k+13=-15
da cui si ricava che la radice comune e' k=4.
karl.
(k-b)^3-6(k-b)^2+15(k-b)-13=0
Facendo i calcoli:
b^3+(-3k+6)b^2+(3k^2-12k+15)b+(-k^3+6k^2-15k+13)=0
Confrontando con l'equazione b^3-6b^2+15b-15=0 risulta
(tenendo conto che i primi coeff. sono uguali):
-3k+6=-6;3k^2-12k+15=15;-k^3+6k^2-15k+13=-15
da cui si ricava che la radice comune e' k=4.
karl.
Il problema poteva essere fatto in mille modi tutti giusti,poi uno si può diverire a scegliere quello che gli piace di +
Per Denn.
Ma deve scegliere quello adeguato al forum dove posta.
Se non altro per correttezza nei riguardi di chi ci
va poi a leggere:e' una normale regole di netiquette.
karl.
Ma deve scegliere quello adeguato al forum dove posta.
Se non altro per correttezza nei riguardi di chi ci
va poi a leggere:e' una normale regole di netiquette.
karl.
Il 2° procedimento ke ho usato richiede solo una minima conoscenza dei limiti,che può essere appresa in fisica...
Beh, ti sfido a spiegare un passaggio al limite in seconda liceo, per quanto banale possa essere. Do' ragione a Karl: le risposte devono essere adeguate al livello di conoscenza che corrisponde al forum dove si trova la questione. E la tua soluzione (comunque corretta) non e' adatta.
Luca.
Luca.
Ho utilizzato la parola limite solo per questioni formali e nn l'avrei tirata in ballo se il topic fosse stato postato da uno di 2°liceo.Ad ogni modo il procedimento che riporto qua(visto che con le nuove emoticom risulta illegibile):
"Sommando le 2 equazioni si ha:
a^3-6a^2+15a+b^3-6b^2+15b-28=0
Nessuno ci vieta di imporre un cambio di varibile:
b=t-a
con t un parametro ausilario.
Sostituendo l'equazione si abbassa di grado in a:
3a^2(t-4)+3at(4-t)+t^3-6t^2+15t-28=0"
poteva essere continuato dimostrando effettivamente che per t=4 si ha un'identità a prescindere dal valore di a,visto che i coefficenti di a si annullano per t=4 e il polinomio t^3-6t^2+15t-28 pure per il teorema di Ruffini(tutti concetti del biennio).
Ad ogni modo il concetto di limite viene affrontato e risulta indispensabile per definire la velocità tangenziale.
"Sommando le 2 equazioni si ha:
a^3-6a^2+15a+b^3-6b^2+15b-28=0
Nessuno ci vieta di imporre un cambio di varibile:
b=t-a
con t un parametro ausilario.
Sostituendo l'equazione si abbassa di grado in a:
3a^2(t-4)+3at(4-t)+t^3-6t^2+15t-28=0"
poteva essere continuato dimostrando effettivamente che per t=4 si ha un'identità a prescindere dal valore di a,visto che i coefficenti di a si annullano per t=4 e il polinomio t^3-6t^2+15t-28 pure per il teorema di Ruffini(tutti concetti del biennio).
Ad ogni modo il concetto di limite viene affrontato e risulta indispensabile per definire la velocità tangenziale.
Voglio dire istantanea
Non in una classe seconda pero'. So che viene detto che la velocita' e' il limite del rapporto tra spazio e tempo, ma non credo ci siano casi in cui in una seconda liceo si veda qualche calcolo di limiti, o addirittura la definizione matematica. Comunque non vi sono problemi, dal momento che la tua soluzione regge anche senza il calcolo di un limite.
Luca.
Luca.
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