Poligonale convessa
Buon pomeriggio a tutti.
Mi è venuto un dubbio, anzi due.
Il primo riguarda la definizione di figura convessa.
Nel mio libro trovo scritto che una figura si dice convessa se, comunque scelti due punti A e B appartenenti alla figura, il segmento AB è tutto contenuto nella figura.
Quello che non capisco è se si tratti di inclusione o inclusione stretta. Cioè, se considero un angolo giro e considero il segmento che interseca i lati, il segmento è interamente contenuto nella figura?
Probabilmente si sta considerando l'inclusione stretta, quindi i bordi non devono intersecare il segmento. In questo modo l'angolo giro è concavo, così come risulta concavo se uso la definizione di angolo convesso come angolo che non contiene il prolungamento dei suoi lati. Confermate?
L'altro dubbio e sulla convessità della poligonale:
se si considerare una poligonale aperta non intrecciata costituita da due sementi, la poligonale è concava o convessa?
Se seguo la definizione di convessità data dal libro, la poligonale descritta non è convessa, perché solo gli estremi del segmento appartengono alla figura. Ma se come definizione di poligonale convessa uso la seguente: una poligonale è convessa se il prolungamento di un lato della poligonale non interseca nessun altro lato della poligonale, allora la figura descritta è convessa.
Dove sbaglio?
Grazie per l'aiuto che vorrete darmi!
Mi è venuto un dubbio, anzi due.
Il primo riguarda la definizione di figura convessa.
Nel mio libro trovo scritto che una figura si dice convessa se, comunque scelti due punti A e B appartenenti alla figura, il segmento AB è tutto contenuto nella figura.
Quello che non capisco è se si tratti di inclusione o inclusione stretta. Cioè, se considero un angolo giro e considero il segmento che interseca i lati, il segmento è interamente contenuto nella figura?
Probabilmente si sta considerando l'inclusione stretta, quindi i bordi non devono intersecare il segmento. In questo modo l'angolo giro è concavo, così come risulta concavo se uso la definizione di angolo convesso come angolo che non contiene il prolungamento dei suoi lati. Confermate?
L'altro dubbio e sulla convessità della poligonale:
se si considerare una poligonale aperta non intrecciata costituita da due sementi, la poligonale è concava o convessa?
Se seguo la definizione di convessità data dal libro, la poligonale descritta non è convessa, perché solo gli estremi del segmento appartengono alla figura. Ma se come definizione di poligonale convessa uso la seguente: una poligonale è convessa se il prolungamento di un lato della poligonale non interseca nessun altro lato della poligonale, allora la figura descritta è convessa.
Dove sbaglio?
Grazie per l'aiuto che vorrete darmi!
Risposte
"alice e bob":
se si considerare una poligonale aperta non intrecciata (e come potrebbe esserlo?) costituita da due sementi, la poligonale è concava o convessa?
Se seguo la definizione di convessità data dal libro, la poligonale descritta non è convessa, perché solo gli estremi del segmento appartengono alla figura. Ma se come definizione di poligonale convessa uso la seguente: una poligonale è convessa se il prolungamento di un lato della poligonale non interseca nessun altro lato della poligonale, allora la figura descritta è convessa.
Dove sbaglio?
Che c'è di strano? Se usi due definizioni diverse non mi pare così sorprendente che una possa risultare soddisfatta e l'altra no. Dovresti dimostrare che le due definizioni sono equivalenti, ma l'esempio che hai portato prova semmai il contrario.
Grazie mgrau,
ma a questo punto mi chiedo quale sia la definizione corretta, visto che i testi le riportano entrambe.
ma a questo punto mi chiedo quale sia la definizione corretta, visto che i testi le riportano entrambe.
Potresti dirci quali testi e riportare le definizioni esatte, parola per parola? Grazie.
"alice e bob":
una poligonale è convessa se il prolungamento di un lato della poligonale non interseca nessun altro lato della poligonale, allora la figura descritta è convessa.
Ma dove l'hai trovata?
"axpgn":
Potresti dirci quali testi e riportare le definizioni esatte, parola per parola? Grazie.
Si, certo, e grazie a te!
Sul Sasso, Colori della Matematica,Geometria, edizione Blu, Deascuola, riporta la seguente definizione di figura convessa:"Una figura geometrica F si dice convessa se, comunque scelti due punti A, B appartenenti a F (usa il simbolo di appartenenza), il segmento AB è tutto contenuto in F. Una figura non convessa si dice concava".
Su Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.blu, vol1, Zanichelli, dà la seguente definizione:"una figura è convessa se due suoi punti qualsiasi sono estremi di un segmento tutto contenuto nella figura. In caso contrario la figura è concava". Più in là aggiunge:"Gli angoli possono essere sia figure concave sia figure convesse. Per decidere se un angolo è concavo o convesso, anziché usare la definizione precedente, possiamo considerare i prolungamenti dei suoi lati". Quindi riporta tre immagini: un angolo convesso, uno concavo e l'angolo piatto. Sotto l'angolo concavo c'è scritto: "A eccezione dell'angolo giro, se un angolo contiene al proprio interno i prolungamenti dei lati, allora è concavo. Infatti è possibile scegliere due punti in modo che il segmento che li unisce non sia contenuto interamente nell'angolo".
Sotto l'angolo convesso c'è scritto:"se un angolo contiene al proprio interno i prolungamenti dei lati allora è convesso. Infatti, comunque scegliamo due punti, il segmento che li unisce è contenuto sempre interamente nell'angolo."
Sotto l'angolo piatto c'è scritto: "l'angolo piatto è convesso. Pi contiene il prolungamento dei suoi lati, ma non al proprio interno."
Su Bertoni, Yeo et al, Pensaci! Vol 1, ed. Verde, Zanichelli c'è scritto:
"Consideriamo un angolo e prolunghiamone i lati. I prolungamenti dei lati cadono srmpre dentro a uno dei due angoli in cui le semirette dividono il piano. Se un angolo non contiene i prolungamenti dei suoi lati si dice convesso, altrimenti si dice concavo. Un angolo i cui lati sono coincidenti si dice nullo se è convesso, giro se è concavo".
Non fa menzione alla definizione di figura convessa in generale, almeno nel primo capitolo.
Grazie ancora per il tempo che mi state dedicando.
"alice e bob":
[quote="axpgn"]Potresti dirci quali testi e riportare le definizioni esatte, parola per parola? Grazie.
Si, certo, e grazie a te!
Sul Sasso, Colori della Matematica,Geometria, edizione Blu, Deascuola, riporta la seguente definizione di figura convessa:"Una figura geometrica F si dice convessa se, comunque scelti due punti A, B appartenenti a F (usa il simbolo di appartenenza), il segmento AB è tutto contenuto in F. Una figura non convessa si dice concava".
Su Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.blu, vol1, Zanichelli, dà la seguente definizione:"una figura è convessa se due suoi punti qualsiasi sono estremi di un segmento tutto contenuto nella figura. In caso contrario la figura è concava".[/quote]
Questa è la definizione corretta.
Il segmento che congiunge due punti non è tenuto ad essere tutto interno alla figura, poiché questo comporterebbe conseguenze dannose: ad esempio, un segmento non sarebbe una figura convessa e ciò comporterebbe diverse "disgrazie".
Puoi però fare la seguente precisazione: se, comunque si scelgano due punti $P != Q$ appartenenti ad una figura $mathcal(F)$ il segmento $PQ$ è costituito tutto da punti "interni" alla figura[nota]La nozione di punto "interno" è topologica e puoi precisarla come segue: un punto $P$ è interno ad $mathcal(F)$ se esiste un cerchio $mathcal(C)$ di centro $P$ (e raggio non nullo) tutto contenuto in $mathcal(F)$.[/nota] (ad eccezione al più dei due estremi), allora la $mathcal(F)$ si dice strettamente convessa. Ad esempio, il cerchio è una figura strettamente convessa, mentre angoli e poligoni non lo sono (perché?).
"alice e bob":
Più in là aggiunge: "Gli angoli possono essere sia figure concave sia figure convesse. Per decidere se un angolo è concavo o convesso, anziché usare la definizione precedente, possiamo considerare i prolungamenti dei suoi lati". Quindi riporta tre immagini: un angolo convesso, uno concavo e l'angolo piatto. Sotto l'angolo concavo c'è scritto: "A eccezione dell'angolo giro, se un angolo contiene al proprio interno i prolungamenti dei lati, allora è concavo. Infatti è possibile scegliere due punti in modo che il segmento che li unisce non sia contenuto interamente nell'angolo".
Sotto l'angolo convesso c'è scritto: "se un angolo contiene al proprio interno i prolungamenti dei lati allora è convesso. Infatti, comunque scegliamo due punti, il segmento che li unisce è contenuto sempre interamente nell'angolo."
Sotto l'angolo piatto c'è scritto: "l'angolo piatto è convesso. $pi$ contiene il prolungamento dei suoi lati, ma non al proprio interno."
Questa proprietà di convessità è propria degli angoli o dei poligoni, ma non è applicabile a figure geometriche più generali (tipo il cerchio... Che vorrebbe dire per un cerchio "contiene il prolungamento dei lati"? Cosa sono "i lati" di un cerchio?); in altri termini, si dimostra che se $mathcal(F)$ è un angolo (non giro) o un poligono, allora $mathcal(F)$ è convesso se e solo se esso non contiene al proprio interno punti appartenenti ai prolungamenti dei propri lati.
"alice e bob":
Su Bertoni, Yeo et al, Pensaci! Vol 1, ed. Verde, Zanichelli c'è scritto:
"Consideriamo un angolo e prolunghiamone i lati. I prolungamenti dei lati cadono sempre dentro a uno dei due angoli in cui le semirette dividono il piano. Se un angolo non contiene i prolungamenti dei suoi lati si dice convesso, altrimenti si dice concavo. Un angolo i cui lati sono coincidenti si dice nullo se è convesso, giro se è concavo".
Come sopra.
Solo che non mi trovo d'accordo sul fatto che l'angolo giro sia concavo... Infatti, l'angolo giro coincide con l'intero piano, che è una figura convessa.
gugo82, grazie di cuore!
Per la domanda che hai posto, poligoni e angoli non sono strettamente convessi perché potrei scegliere due punti sui lati, quindi il segmento che li congiunge sarebbe formato da punti non interni. È giusto?
Grazie, mi hai fatto riflettere tantissimo con le tue osservazioni! Avevo scritto un mucchio di sciocchezze!
Per la definizione di poligonale convessa come poligonale in cui il prolungamento di un lato non incontra nessun altro lato, l'ho trovata qui http://xoomer.virgilio.it/mikyegenny/ma ... igoni.html
Per la domanda che hai posto, poligoni e angoli non sono strettamente convessi perché potrei scegliere due punti sui lati, quindi il segmento che li congiunge sarebbe formato da punti non interni. È giusto?
Grazie, mi hai fatto riflettere tantissimo con le tue osservazioni! Avevo scritto un mucchio di sciocchezze!
Per la definizione di poligonale convessa come poligonale in cui il prolungamento di un lato non incontra nessun altro lato, l'ho trovata qui http://xoomer.virgilio.it/mikyegenny/ma ... igoni.html
"alice e bob":
gugo82, grazie di cuore!
Prego.
"alice e bob":
Per la domanda che hai posto, poligoni e angoli non sono strettamente convessi perché potrei scegliere due punti sui lati, quindi il segmento che li congiunge sarebbe formato da punti non interni. È giusto?
Già.
"alice e bob":
Per la definizione di poligonale convessa come poligonale in cui il prolungamento di un lato non incontra nessun altro lato, l'ho trovata qui http://xoomer.virgilio.it/mikyegenny/ma ... igoni.html
La domanda da fare è: perché fidarsi di "Miky&Genny"?
Il sito sarà anche carino, ma ci sono riferimenti di gran lunga più affidabili in giro... E no, poligonale convessa non si è mai sentito[nota]Tra l'altro, le uniche poligonali che ha senso chiamare convesse sono quelle aperte formate da segmenti adiacenti... Perché?[/nota]; al massimo è il poligono delimitato da una poligonale ad essere concavo o convesso.
Perché se i segmenti non fossero adiacenti non riuscirei a congiungere due punti qualsisasi della poligonale con un segmento contenuto interamente nella poligonale.
Però aspetta, non mi bacchettare... Non è che è una domanda trabocchetto? Per essere poligonale due segmenti successivi devono essere consecutivi ma non adiacenti, vero?
Quali sono i siti affidabili da consultare gugo82? Per esempio quello del politecnico di Torino?
Grazie ancora per il tempo dedicatomi...
Però aspetta, non mi bacchettare... Non è che è una domanda trabocchetto? Per essere poligonale due segmenti successivi devono essere consecutivi ma non adiacenti, vero?
Quali sono i siti affidabili da consultare gugo82? Per esempio quello del politecnico di Torino?
Grazie ancora per il tempo dedicatomi...
"alice e bob":
Perché se i segmenti non fossero adiacenti non riuscirei a congiungere due punti qualsisasi della poligonale con un segmento contenuto interamente nella poligonale.
E già.
"alice e bob":
Però aspetta, non mi bacchettare... Non è che è una domanda trabocchetto?
Perché mi fate più cattivo di quel che sono?
"alice e bob":
Per essere poligonale due segmenti successivi devono essere consecutivi ma non adiacenti, vero?
Non mi pare che in alcun testo capitatomi sotto mano ci sia una restrizione del genere.
Quindi no, non vedo perché i segmenti non debbano essere adiacenti.
"alice e bob":
Quali sono i siti affidabili da consultare gugo82? Per esempio quello del politecnico di Torino?
Quelli delle università, ovviamente, per lo più lo sono. Wikipedia inglese pure, con tutti i suoi limiti, lo è; allo stesso modo, lo sono EoM (Encyclopedia of Mathematics), mathworld, planetmath, blog tenuti da docenti, forum seri come il nostro (che frequentato da quasi vent'anni da studenti, ricercatori e docenti)...
Ma comunque i riferimenti affidabili per definizione sono i testi scritti da "specialisti" e revisionati da altri "specialisti".
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