Poblemi di geometria analitica
Ciao, non riesco a risolvere i seguenti problemi, potete aiutarmi???
1- Dati i punti A(3;2) e B(5;6), trovare una retta parallela ad AB tale che formi con gli assi cartesiani un triangolo di area 9.
2- Di un triangolo rettangolo isoscele ABC si sa che il vertice dell'angolo retto è A(2;1) e l'equazione della retta BC è y=8-2x. Determinare i vertici.
3- Di un triangolo ABC si sa che il vertice C è il centro del fascio di rette di uquazione (k-1)x+(k-2)y+3=0
e che il vertice A appartiene alla retta del fascio che è parallela alla bisettrice del 1 e 3 quadrante. Si sa, inoltre, che l'altezza uscente da B passa per il punto P(-2;-1) e che il baricentro è G(1/2;-7/2). Determinare i vertici del triangolo.
GRAZIE ANTICIPATAMENTE!!!!!!!!!!!!!!!!
1- Dati i punti A(3;2) e B(5;6), trovare una retta parallela ad AB tale che formi con gli assi cartesiani un triangolo di area 9.
2- Di un triangolo rettangolo isoscele ABC si sa che il vertice dell'angolo retto è A(2;1) e l'equazione della retta BC è y=8-2x. Determinare i vertici.
3- Di un triangolo ABC si sa che il vertice C è il centro del fascio di rette di uquazione (k-1)x+(k-2)y+3=0
e che il vertice A appartiene alla retta del fascio che è parallela alla bisettrice del 1 e 3 quadrante. Si sa, inoltre, che l'altezza uscente da B passa per il punto P(-2;-1) e che il baricentro è G(1/2;-7/2). Determinare i vertici del triangolo.
GRAZIE ANTICIPATAMENTE!!!!!!!!!!!!!!!!
Risposte
1) Il coeff. angolare della retta AB è:
m = (6 - 2)/(5 - 3) = 2
L'equazione della retta parallela sarà dunque: y = 2x + q
Vogliamo che tale retta formi con gli assi cartesiani
un triangolo di area 9; il triangolo è senz'altro rettangolo
perché la retta lo forma con tutti e due gli assi cartesiani,
che sono perpendicolari tra loro; di conseguenza
un vertice di questo triangolo è senz'altro l'origine
O(0;0). Mettiamo a sistema l'equazione trovata con x = 0:
in questo modo troviamo l'intersezione
della retta con l'asse y; si trova facilmente che
un vertice del triangolo rettangolo è: A(0;q)
Mettiamo a sistema ora con y = 0; otteniamo:
2x + q = 0 ==> x = -q/2 , quindi B(-q/2;0)
I cateti appartengono agli assi cartesiani,
quindi le loro lunghezze sono q/2 e q.
Imponiamo che l'area sia 9:
((q/2)*q))/2 = 9
q²/4 = 9 ==> q² = 36 ==> q = [:p]6
Le rette che quindi formano con gli
assi coordinati un triangolo di area 9
hanno equazione: y = 2x[:p]6
m = (6 - 2)/(5 - 3) = 2
L'equazione della retta parallela sarà dunque: y = 2x + q
Vogliamo che tale retta formi con gli assi cartesiani
un triangolo di area 9; il triangolo è senz'altro rettangolo
perché la retta lo forma con tutti e due gli assi cartesiani,
che sono perpendicolari tra loro; di conseguenza
un vertice di questo triangolo è senz'altro l'origine
O(0;0). Mettiamo a sistema l'equazione trovata con x = 0:
in questo modo troviamo l'intersezione
della retta con l'asse y; si trova facilmente che
un vertice del triangolo rettangolo è: A(0;q)
Mettiamo a sistema ora con y = 0; otteniamo:
2x + q = 0 ==> x = -q/2 , quindi B(-q/2;0)
I cateti appartengono agli assi cartesiani,
quindi le loro lunghezze sono q/2 e q.
Imponiamo che l'area sia 9:
((q/2)*q))/2 = 9
q²/4 = 9 ==> q² = 36 ==> q = [:p]6
Le rette che quindi formano con gli
assi coordinati un triangolo di area 9
hanno equazione: y = 2x[:p]6
Grazie mille, e gli altri??? 
)))))
)))))
penso che il secondo si risolva così: ti calcoli con la formula della distanza punto-retta d=|ax0 + by0 + c|/sqrt(a^2 + b^2), dove x0 e y0 sono le coordinate di a, a,b,c sono i coefficienti della retta espressa in modo implicito (ovvero del tipo ax + by + c); a questo punto esiste un bel teorema che dice che la mediana relativa all' ipotenusa di un triangolo rettangolo è metà dell' ipotenusa, quindi puoi, per esempio, prendere una circonferenza col centro nel piede dell' altezza d (cioè la distanza punto-retta), che è abbastanza banale da trovare, a questo punto fai l' intersezione fra la circonferenza ottenuta e la retta e trovi gli altri vertici del triangolo rettangolo...
Il terzo problema è solo un po' lungo...
innanzitutto , dato il fascio, sai che il centro è dato ponendo una volta k=1, e trovi la coordinata y, un' altra k=2 e trovi la coordinata x, per cui dovresti ottenere che C(-3;3);
inoltre adesso sai che A si trova sulla retta del fascio parallela a y=x, ovvero sarà del tipo y - x + q=0, per cui ponendo k-1=-(k-2), trovi la retta y=x+6, dove giace il punto A.
inoltre, sai che la retta che passa per P, deve essere perpendicolare alla retta AC, che è appunto y=x+6, per cui fai
y-y0=m(x-x0) dove m=-1 e y0 e x0 sono le coordinate di P
da cui y=-x-3
adesso il baricentro di un triangolo è dato attraverso le cooridnate di ogni vertice: xG= (xA+xB+xC)/3
yG= (yA+yB+yC)/3
da cui 1/2=(xA+xB-3)/3 e -7/2=((xA+6)+(-xB-3)+3)/3
a questo punto è solo una questione di numeri, che lascio calcolare a te perchè a contare sono una frana...comunque in linea di massima il ragionamento dovrebbe filare...
innanzitutto , dato il fascio, sai che il centro è dato ponendo una volta k=1, e trovi la coordinata y, un' altra k=2 e trovi la coordinata x, per cui dovresti ottenere che C(-3;3);
inoltre adesso sai che A si trova sulla retta del fascio parallela a y=x, ovvero sarà del tipo y - x + q=0, per cui ponendo k-1=-(k-2), trovi la retta y=x+6, dove giace il punto A.
inoltre, sai che la retta che passa per P, deve essere perpendicolare alla retta AC, che è appunto y=x+6, per cui fai
y-y0=m(x-x0) dove m=-1 e y0 e x0 sono le coordinate di P
da cui y=-x-3
adesso il baricentro di un triangolo è dato attraverso le cooridnate di ogni vertice: xG= (xA+xB+xC)/3
yG= (yA+yB+yC)/3
da cui 1/2=(xA+xB-3)/3 e -7/2=((xA+6)+(-xB-3)+3)/3
a questo punto è solo una questione di numeri, che lascio calcolare a te perchè a contare sono una frana...comunque in linea di massima il ragionamento dovrebbe filare...
Grazie a tutti...))))) mi avete tolto dai guai per l'ennesima volta...
))))) mi avete tolto dai guai per l'ennesima volta...
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