Piramide Retta
Ecco il quesito che vi sottopongo:
"Una piramide retta ha per base un rombo circoscritto a una circonferenza il cui raggio è lungo $15 cm$. Sapendo che il lato del rombo è lungo $22 cm$ e che l'altezza della piramide è lunga $20 cm$, calcola la superficie totale del solido. A quale distanza dal vertice si deve trovare il piano che seca la piramide secondo un rombo di area $500 cm^2$?".
Per la prima parte del problema, non vi sono grosse difficoltà: ho facilmente calcolato il semiperimetro di base $p$, e successivamente considerato il triangolo rettangolo $EOH$ (dove O è il centro della circonferenza inscritta nel rombo) trovando l'apotema $a$ grazie al Teorema di Pitagora. Infine, siccome il rombo è diviso dalle sue diagonali in 4 triangoli rettangoli congruenti, per la sua area mi è bastato calcolare l'area di uno dei triangoli (di cui possediamo la base, $22$ , e l'altezza, ossia il raggio $OH$) e quadruplicarla, ottendendo $A_b=660 cm^2$ e infine $A_t=1760 cm^2$. Risultato che coincide con quello del testo, e anche il ragionamento mi sembra giusto.
Il problema subentra con la seconda parte, che non ho ben capito come svolgere. Avevo pensato di considerare la similitudine tra il triangolo rettangolo $EOH$ di cui posseggo ogni dato e quello, diciamo così, "ipotetico" $EO'H'$. Ogni mio ragionamento in merito, comunque, (ho tentato di utilizzare le proporzioni) mi conduce ad un unico risultato per la distanza dal vertice da trovare. Questo risultato, immagino errato, è $15,15 cm$ mentre il testo parla di una distanza di $17,41 cm$.
Assumendo che $15,15$ sia sbagliato, come arrivo al risultato giusto? Mi spiegate i passaggi?
Grazie anticipatamente.
"Una piramide retta ha per base un rombo circoscritto a una circonferenza il cui raggio è lungo $15 cm$. Sapendo che il lato del rombo è lungo $22 cm$ e che l'altezza della piramide è lunga $20 cm$, calcola la superficie totale del solido. A quale distanza dal vertice si deve trovare il piano che seca la piramide secondo un rombo di area $500 cm^2$?".
Per la prima parte del problema, non vi sono grosse difficoltà: ho facilmente calcolato il semiperimetro di base $p$, e successivamente considerato il triangolo rettangolo $EOH$ (dove O è il centro della circonferenza inscritta nel rombo) trovando l'apotema $a$ grazie al Teorema di Pitagora. Infine, siccome il rombo è diviso dalle sue diagonali in 4 triangoli rettangoli congruenti, per la sua area mi è bastato calcolare l'area di uno dei triangoli (di cui possediamo la base, $22$ , e l'altezza, ossia il raggio $OH$) e quadruplicarla, ottendendo $A_b=660 cm^2$ e infine $A_t=1760 cm^2$. Risultato che coincide con quello del testo, e anche il ragionamento mi sembra giusto.
Il problema subentra con la seconda parte, che non ho ben capito come svolgere. Avevo pensato di considerare la similitudine tra il triangolo rettangolo $EOH$ di cui posseggo ogni dato e quello, diciamo così, "ipotetico" $EO'H'$. Ogni mio ragionamento in merito, comunque, (ho tentato di utilizzare le proporzioni) mi conduce ad un unico risultato per la distanza dal vertice da trovare. Questo risultato, immagino errato, è $15,15 cm$ mentre il testo parla di una distanza di $17,41 cm$.
Assumendo che $15,15$ sia sbagliato, come arrivo al risultato giusto? Mi spiegate i passaggi?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Basta ricordare che se si taglia una piramide con un piano parallelo alla base, la base e la sezione sono poligoni simili e le loro aree sono proporzionali ai quadrati delle distanze dal vertice: $A_1 : h_1^2 =A_2 : h_2^2$
Cavoli, giustissimo... era un teorema che pur avendo letto (parecchio tempo fa però 
) non ricordavo. Grazie mille!
) non ricordavo. Grazie mille!
Prego!
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