Piccolo problema sulla simmetria assiale

[NoRe1]

Sapendo che le equazioni
$x_1=(4x-3y)/5$

$y_1=-(3x+4y)/5$
sono quelle di una simmetri assiale, determinare l'equazione dell'asse di simmetria...

Ora il libro mi suggerisce di sfruttare il fatto che nella simmetria assiale l'asse è figura unita formata da punti uniti...
chiamo r l'asse di simmetria...
L'asse di simmetria sarà quindi quella retta r che rispetto alla trasformazione è una figura unita...

Prendo una qualsiasi retta r di equazione :
$ax+by+c=0$
E tramite la trasformazione sopra avrò un'altra equazione che per essere quella dell'asse di simmetria dovrà essere equivalente a $ax+by+c=0$ ... giusto?


Mi sorge un primo dubbio: anche tutte le rette perpendicolari all'asse di simmetria sono figure unite rispetto alla simmetria assiale, quindi dovrebbero essere due le rette unite? come le distinguo? o.O

Lascio stare questo dubbio e continuo il mio procedimento, rimandando il problema alla fine...
Tuttavia, nel trovare i valori di a e b mi ritrovo davanti un sistema indeterminato e non so come procedere...

Potete darmi spiegazioni? Grazie

[Sk_Anonymous]

In una simmetria assiale di rette unite punto per punto ce n'è una soltanto ed è appunto l'asse di simmetria. Le (infinite) rette perpendicolari a questo asse sono rette unite nel senso che hanno per immagine se stesse, ma non lo sono punto per punto. Puoi quindi accettare il consiglio del testo e trovare i punti uniti della simmetria, imponendo le condizioni :
\(\displaystyle \begin{cases}x'=x\\y'=y \end{cases}\)
Ovvero :
\(\displaystyle \begin{cases}\frac{4x-3y}{5}=x\\ \frac{-3x-4y}{5}=y \end{cases}\)
Da questo sistema risulta l'unica equazione:
(1) \(\displaystyle x+3y=0 \)
Vi sono quindi infiniti punti uniti soddisfacenti la (1) che é quindi l'equazione dell'asse richiesta.
Vi sono altri modi per trovare l'asse ma il precedente è il più breve.

[NoRe1]

Alla fine ho proceduto così...

Piuttosto vorrei sapere cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento anche se lungo e macchinoso

[@melia]

Nel tuo ragionamento hai considerato le rette unite, che, come hai già osservato, sono anche quelle perpendicolari all'asse di simmetria. ciromario, invece, ti ha fatto osservare che l'asse di simmetria non è solo una retta unita, ma una retta di punti uniti, cioè ogni punto di tale retta si trasforma in sè stesso.

[NoRe1]

"@melia":Nel tuo ragionamento hai considerato le rette unite, che, come hai già osservato, sono anche quelle perpendicolari all'asse di simmetria. ciromario, invece, ti ha fatto osservare che l'asse di simmetria non è solo una retta unita, ma una retta di punti uniti, cioè ogni punto di tale retta si trasforma in sè stesso.

Si questo l'ho capito, ma vorrei capire se fosse possibile arrivare allo stesso risultato anche tramite il mio ragionamento, anche se è più lungo...

[@melia]

Ho provato e sono arrivata a queste soluzioni:
Se $c !=0$ allora $a= -3b$, quindi la retta unita è del tipo $-3x+y+k=0$ con $k !=0$
Se $c=0$ allora ci sono due soluzioni:

$a= -3b$, che dà la retta $-3x+y=0$
e $a=1/3 b$, che dà come soluzione la retta $1/3 x+y=0$ ed è questa l'asse di simmetria perché è l'unica con questa inclinazione, mentre le altre sono tutte le sue perpendicolari.[/list:u:2esntn7a]