Piccolo problema di trigonometria con discussione

[nicolaflute]

Ciao a tutti, vi scrivo per chiedere come risolvere un problema di trigonometria con discussione, ma mi ritrovo con un'equazione strana :-/.
Allora: Dato il rombo ABCD le cui diagonali AC e BD misurano rispettivamente [tex]2a\sqrt{3}[/tex] e [tex]2a[/tex], determinare sulla diagonale BD un punto P in modo che risulti:
AP+PD=kOT dove per k io ho scelto il valore [tex]\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3}[/tex], essendo presente nel limite dei risultati.
essendo OT il raggio del cerchio inscritto nel rombo.
Vi ripeto, ho provato, ma forse ho applicato in modo sbagliato i teoremi.....
non so bene che fare.
Grazie

[minomic]

Ciao,
la prima cosa da fare è posizionare l'incognita. Essendo un problema di trigonometria prenderemo un angolo, ad esempio $$\widehat{PAO} = x$$ Quali sono i limiti su questa incognita?

Dai teoremi sui triangoli rettangoli troviamo $$\overline{AP} = \frac{a\sqrt{3}}{\cos x}$$$$\overline{PD} = a - a\sqrt{3}\tan x.$$
Ora si tratta di trovare il raggio della circonferenza inscritta nel rombo. Questa circonferenza sarà tangente ai quattro lati ma sappiamo che la tangente è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza, quindi possiamo concludere che il raggio coincide con l'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo $BOC$ che troviamo scrivendo l'area di questo triangolo in due modi diversi: $$
A_{BOC} = \frac{a \cdot a\sqrt{3}}{2} = \frac{2a \cdot r}{2} \Rightarrow r = a \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
Così l'equazione da discutere diventa $$
\frac{a\sqrt{3}}{\cos x} + a - a\sqrt{3}\tan x = k \frac{a\sqrt{3}}{2}
$$ a meno di miei errori!

Per la discussione, un'idea può essere quella di trasformarla in un'equazione polinomiale mediante le formule parametriche.