Piccolo problema...
Haloa a tutti!!
Stavo cercando di portarmi avanti nei compiti delle vacanze, quando mi sono imbattuta in qs problema...mi sono bloccata alla richiesta iniziale e nn riesco piu`ad andare avanti...molto probabilmente e`una stupidata
, ma proprio nn mi si accende la lampadina...
potreste darmi una mano, please?
l'esercizio dice: "scrivere l'equazione del luogo dei centri delle circonferenze passanti per A (0;0) e tangenti alla retta r: x+1=0".
Io avrei pensato innanzitutto di scrivere l'equazione del fascio di circonferenze passanti per A e tangenti a r, ma nn saprei come arrivarci e poi nn riuscirei ad andare avanti...
Un mega grazie a chi sapra`darmi una risposta!!
Stavo cercando di portarmi avanti nei compiti delle vacanze, quando mi sono imbattuta in qs problema...mi sono bloccata alla richiesta iniziale e nn riesco piu`ad andare avanti...molto probabilmente e`una stupidata
, ma proprio nn mi si accende la lampadina...potreste darmi una mano, please?
l'esercizio dice: "scrivere l'equazione del luogo dei centri delle circonferenze passanti per A (0;0) e tangenti alla retta r: x+1=0".
Io avrei pensato innanzitutto di scrivere l'equazione del fascio di circonferenze passanti per A e tangenti a r, ma nn saprei come arrivarci e poi nn riuscirei ad andare avanti...
Un mega grazie a chi sapra`darmi una risposta!!
Risposte
L'equazione di una circonferenza è: $x^2 + y^2 + ax +by +c=0$, se imponi il passaggio per (0,0) si ottiene $c=0$, quindi la famiglia di circonferenze passanti per l'origine ha equazione: $x^2+y^2+ax+by=0$.
Dato che deve essere tangente alla retta di equazione $x=-1$, l'intersezione con tale retta deve essere unica, ossia mettendo a sistema l'equazione della retta con quella della circonferenza deve uscir fuori un'equazione di secondo grado con due soluzioni coincidenti, cioè con discriminante nullo:
$1+y^2-a+by=0$, cioè $y^2+by+1-a=0$.
Il discriminante di tale equazione vale: $b^2-4+4a$, uguagliarlo a zero significa porre: $b^2=4*(1-a)$, cioè $b=\pm2sqrt(1-a)$, con $a \le 1$.
L'equazione della circonferenza ora diventa: $x^2+y^2+ax\pm2sqrt(1-a)y=0$, quindi il centro è: $(-\frac{a}{2}, -sqrt(1-a))$.
Questo è un generico centro cercato, per scrivere l'equazione del luogo basta uguagliare l'ascissa a $x$ e l'ordinata a $y$:
$\{(x=-\frac{a}{2}),(y=-sqrt(1-a)):}$ da cui: $a=-2x$, quindi l'equazione del luogo risulta: $y=-sqrt(1+2x)$.
Dato che deve essere tangente alla retta di equazione $x=-1$, l'intersezione con tale retta deve essere unica, ossia mettendo a sistema l'equazione della retta con quella della circonferenza deve uscir fuori un'equazione di secondo grado con due soluzioni coincidenti, cioè con discriminante nullo:
$1+y^2-a+by=0$, cioè $y^2+by+1-a=0$.
Il discriminante di tale equazione vale: $b^2-4+4a$, uguagliarlo a zero significa porre: $b^2=4*(1-a)$, cioè $b=\pm2sqrt(1-a)$, con $a \le 1$.
L'equazione della circonferenza ora diventa: $x^2+y^2+ax\pm2sqrt(1-a)y=0$, quindi il centro è: $(-\frac{a}{2}, -sqrt(1-a))$.
Questo è un generico centro cercato, per scrivere l'equazione del luogo basta uguagliare l'ascissa a $x$ e l'ordinata a $y$:
$\{(x=-\frac{a}{2}),(y=-sqrt(1-a)):}$ da cui: $a=-2x$, quindi l'equazione del luogo risulta: $y=-sqrt(1+2x)$.
Dunque, io ragionerei diversamente. Il problema chiede il luogo dei centri di tali circonferenze; vediamo, che proprietà avranno tali centri? dovranno essere equidistanti dal punto A e dalla retta data; quindi cosa ti ricorda questo luogo? Chi è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso e da una retta fissa? 
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