Piccolo esercizio su radicali doppi

[bal789]

E' solo un esercizio che pubblico in foto ( c'è anche la soluzione finale). Il testo dell'esercizio è: Traforma il seguente radicale doppio nella somma di due radicali semplici

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ciao bal789. Noto che sei iscritto da un bel po' in questo sito. Ecco, sarebbe opportuno che imparassi a scrivere in LaTeX: è davvero molto semplice. Cliccando su "Cita" in questa risposta puoi vedere il codice che occorre scrivere.

Tornando a noi, bada bene che

[math]\sqrt{2a - 2\sqrt{a^2 - 1}} = \sqrt{(a + 1) + (a - 1) - 2\sqrt{(a + 1)(a - 1)}} = \dots \\[/math]

Naturalmente, googlando formula radicali doppi troverai al volo la formula risolutiva che basterà applicare alla lettera, senza "pensare" a nulla. ;)

[bal789]

Non ho capito

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Quello che ho scritto non credo necessiti di spiegazioni dato che è una banale identità: svolgendo le somme e i prodotti si nota che le due espressioni sono equivalenti. Quello che a questo punto non è immediato "capire", e volutamente te l'ho lasciato come compito, è come proseguire per giungere alla semplificazione desiderata. Proseguo...

[math]\dots = \sqrt{\left(\sqrt{a + 1}\right)^2 + \left(\sqrt{a - 1}\right)^2 - 2\sqrt{a + 1}\sqrt{a - 1}} = \dots \\[/math]

Ora non dovrebbe essere troppo difficile concludere. :)

[bal789]

ma nel libro usa una formula, vado al secondo superiore!

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

# bal789 :
ma nel libro usa una formula

In tal caso perché non ci mostri come la applicheresti? E' la formula che ti ho invitato
di cercare qualche post più su. Così facendo possiamo correggerti. Ricorda che

[math]\sqrt{x-\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x + \sqrt{x^2-y}}{2}} - \sqrt{\frac{x - \sqrt{x^2-y}}{2}} \\[/math]

e nel tuo caso, per utilizzarla correttamente, occorre scrivere

[math]\sqrt{2a - 2\sqrt{a^2 - 1}} = \sqrt{(2a) - \sqrt{\left(4a^2-4\right)}} = \dots \\[/math]

# bal789 :
vado al secondo superiore!

L'avevo intuito. Però, ecco, credo che le scomposizioni le abbiate già studiate. In questo caso, infatti...

[math]
\begin{aligned}

\sqrt{2a - 2\sqrt{a^2 - 1}}

& = \sqrt{(a + 1) + (a - 1) - 2\sqrt{(a + 1)(a - 1)}} \\

& = \sqrt{\left(\sqrt{a + 1}\right)^2 + \left(\sqrt{a - 1}\right)^2 - 2\sqrt{a + 1}\sqrt{a - 1}} \\

& = \sqrt{\left( \sqrt{a + 1} - \sqrt{a - 1} \right)^2} \\

& = \sqrt{a + 1} - \sqrt{a - 1} \; .

\end{aligned}
[/math]