Piccolo chiarimento sulla positività di una funzione
Il dubbio principale per cui mi sono iscritto a questo fantastico sito!
Allora, la cosa di base alla quale mi riferisco è questa: www.ripmat.it/mate/c/ci/cibe.html
E fin lì ho capito, ma se nel calcolo della positività mi escono per esempio queste 2:
prima soluzione: ogni X tranne 0
seconda soluzione: X< -1 ; X > 1
quindi: ++++++++-1--------0--------+1+++++++++
siccome lo 0 è fuori, vuol dire che nel grafico la funzione dovrà passare per 0? Perché da quanto ho capito, a meno di -1 sta sopra, è positiva, poi da -1 a +1 sta sotto, e poi torna sopra, ma siccome c'è anche quello 0, vuol dire che pur restando sotto, toccherà lo 0?
Allora, la cosa di base alla quale mi riferisco è questa: www.ripmat.it/mate/c/ci/cibe.html
E fin lì ho capito, ma se nel calcolo della positività mi escono per esempio queste 2:
prima soluzione: ogni X tranne 0
seconda soluzione: X< -1 ; X > 1
quindi: ++++++++-1--------0--------+1+++++++++
siccome lo 0 è fuori, vuol dire che nel grafico la funzione dovrà passare per 0? Perché da quanto ho capito, a meno di -1 sta sopra, è positiva, poi da -1 a +1 sta sotto, e poi torna sopra, ma siccome c'è anche quello 0, vuol dire che pur restando sotto, toccherà lo 0?
Risposte
Prendiamo ad esempio la seguente:
[tex]f(x):=\frac{x^2}{x^2-1}[/tex]
allora avremo:
[tex]\begin{split}
&N>0\quad\forall x\in\mathbb{R},x\ne0\\
&D>0\quad x^2-1=(x-1)(x+1)>0\implies x<-1\cup x>+1
\end{split}[/tex]
quindi il segno della funzione è:
ossia [tex]f(x)>0[/tex] nei seguenti intervalli: [tex]\mathopen{]}-\infty;-1\mathclose{[}\cup\mathopen{]}+1;+\infty\mathclose{[}[/tex]. Il fatto che si abbia [tex]x\ne0[/tex] nello studio del segno del numeratore è dovuto alla scelta (tua, nostra, loro) di studiare la positività stretta ([tex]>[/tex], maggiore e non uguale); se avessimo scelto di studiare la positività in senso largo ([tex]\geq[/tex], maggiore oppure uguale) avremmo avuto [tex]N\geq0\quad\forall x\in\mathbb{R}[/tex]. Nello studio del denominatore invece abbiamo [tex]x\ne\pm1[/tex] poiché la funzione non è definita per tali valori (non puoi avere [tex]0[/tex] al denominatore).
Dove passa la funzione lo vedi calcolando le intersezioni con gli assi:
[tex]f(x)=0\quad x=0\implies\text{passa per il punto }O(0;0)[/tex]
Molti preferiscono studiare la positività in senso largo del numeratore (cosicché studiano contemporaneamente la positività e le intersezioni con l'asse delle ascisse), mentre si studia sempre la positività in senso stretto del denominatore in quanto in questo modo si includono le condizioni di esistenza della funzione ([tex]D\ne0[/tex]).
Prendiamo ad esempio un'altra funzione:
[tex]f(x):=-\log{\lvert x\rvert}(x^2-1)[/tex]
Anzitutto ne studiamo il dominio:
[tex]\lvert x\rvert>0\implies x\ne0[/tex]
Poi la positività dei singoli fattori:
[tex]\begin{split}
&-\log{\lvert x\rvert}>0\implies -1< x <0\cup0< x< +1\\
&x^2-1>0\implies x<-1\cup x>+1
\end{split}[/tex]
e quindi:
la funzione [tex]f[/tex] è sempre negativa. Studiando le intersezioni con gli assi si trova che:
[tex]f(x)=-\log{\lvert x\rvert}(x^2-1)=0\implies x=-1\text{ (doppia)},\quad x=+1\text{ (doppia)}[/tex]
dunque la funzione passa per i punti [tex]A\equiv(-1;0)[/tex] e [tex]B\equiv(+1;0)[/tex], mentre non ci sono intersezioni con l'asse delle ordinate poiché [tex]x=0\notin\underset{x\in\mathbb{R}}{\mathrm{dom}}f(x)[/tex].
[tex]f(x):=\frac{x^2}{x^2-1}[/tex]
allora avremo:
[tex]\begin{split}
&N>0\quad\forall x\in\mathbb{R},x\ne0\\
&D>0\quad x^2-1=(x-1)(x+1)>0\implies x<-1\cup x>+1
\end{split}[/tex]
quindi il segno della funzione è:
ossia [tex]f(x)>0[/tex] nei seguenti intervalli: [tex]\mathopen{]}-\infty;-1\mathclose{[}\cup\mathopen{]}+1;+\infty\mathclose{[}[/tex]. Il fatto che si abbia [tex]x\ne0[/tex] nello studio del segno del numeratore è dovuto alla scelta (tua, nostra, loro) di studiare la positività stretta ([tex]>[/tex], maggiore e non uguale); se avessimo scelto di studiare la positività in senso largo ([tex]\geq[/tex], maggiore oppure uguale) avremmo avuto [tex]N\geq0\quad\forall x\in\mathbb{R}[/tex]. Nello studio del denominatore invece abbiamo [tex]x\ne\pm1[/tex] poiché la funzione non è definita per tali valori (non puoi avere [tex]0[/tex] al denominatore).
Dove passa la funzione lo vedi calcolando le intersezioni con gli assi:
[tex]f(x)=0\quad x=0\implies\text{passa per il punto }O(0;0)[/tex]
Molti preferiscono studiare la positività in senso largo del numeratore (cosicché studiano contemporaneamente la positività e le intersezioni con l'asse delle ascisse), mentre si studia sempre la positività in senso stretto del denominatore in quanto in questo modo si includono le condizioni di esistenza della funzione ([tex]D\ne0[/tex]).
Prendiamo ad esempio un'altra funzione:
[tex]f(x):=-\log{\lvert x\rvert}(x^2-1)[/tex]
Anzitutto ne studiamo il dominio:
[tex]\lvert x\rvert>0\implies x\ne0[/tex]
Poi la positività dei singoli fattori:
[tex]\begin{split}
&-\log{\lvert x\rvert}>0\implies -1< x <0\cup0< x< +1\\
&x^2-1>0\implies x<-1\cup x>+1
\end{split}[/tex]
e quindi:
la funzione [tex]f[/tex] è sempre negativa. Studiando le intersezioni con gli assi si trova che:
[tex]f(x)=-\log{\lvert x\rvert}(x^2-1)=0\implies x=-1\text{ (doppia)},\quad x=+1\text{ (doppia)}[/tex]
dunque la funzione passa per i punti [tex]A\equiv(-1;0)[/tex] e [tex]B\equiv(+1;0)[/tex], mentre non ci sono intersezioni con l'asse delle ordinate poiché [tex]x=0\notin\underset{x\in\mathbb{R}}{\mathrm{dom}}f(x)[/tex].
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