Piccolo aiuto con problema geometria analitica 3° liceo scientifico
premetto che sto in 3° scientifico e non so svolgere questo tipo di problemi perfettamente, xò se possibile vorrei che qualche piccolo genio ponesse fine al mio "problema" xD
P.S: basta anche solo il procedimento senza la spiegazione scientifica sotto
P.P.S: se possibile per risolverlo usate solo le conoscenze matematiche fino al 3° liceo cosi che io non possa incappare nel corso del procedimento in qualche formula che non è consona o idonea al mio tipo di conoscenze
P.P.P.S: va bene anche se magari ne risolvete solo 1 o 2 giusto per darmi l'idea
GRAZIE MILLE A TUTTI QUELLI CHE RISPONDERANNO IN ANTICIPO E BUONA FORTUNA :)
sulla parabola di equazione y= -1/2 xquadro + x individua un punto P tale che il triangolo opa abbia area 15/2, essendo A ed O i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse
data la parabola y= xquadro + 4 si determino i suoi punti di intersezione con la retta x-y+4=0 e si trovi l equazione della circonferenza passante per tali punti e per l origine.
considera il fascio di parabole x= a/2 y quadro - (a-1)y + (1+a)/2 e individua tra esse l unico fascio che passa per il punto 2.2. determina le equazione elle rettet ed s passanti per i punti A e B di intersezione della parabola con l asse delle ordinate. scrivi l equazione della circonferenza tangente alla parabola nei punti A e B
CIAO! :D
Aggiunto 22 ore 26 minuti più tardi:
si si il primo mi è chiarissimo :) grazie
Aggiunto 2 ore 13 minuti più tardi:
ho fatto qualche errore con i calcoli :P ma il procedimento mi è chiarissimo! :)
P.S: basta anche solo il procedimento senza la spiegazione scientifica sotto
P.P.S: se possibile per risolverlo usate solo le conoscenze matematiche fino al 3° liceo cosi che io non possa incappare nel corso del procedimento in qualche formula che non è consona o idonea al mio tipo di conoscenze
P.P.P.S: va bene anche se magari ne risolvete solo 1 o 2 giusto per darmi l'idea
GRAZIE MILLE A TUTTI QUELLI CHE RISPONDERANNO IN ANTICIPO E BUONA FORTUNA :)
sulla parabola di equazione y= -1/2 xquadro + x individua un punto P tale che il triangolo opa abbia area 15/2, essendo A ed O i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse
data la parabola y= xquadro + 4 si determino i suoi punti di intersezione con la retta x-y+4=0 e si trovi l equazione della circonferenza passante per tali punti e per l origine.
considera il fascio di parabole x= a/2 y quadro - (a-1)y + (1+a)/2 e individua tra esse l unico fascio che passa per il punto 2.2. determina le equazione elle rettet ed s passanti per i punti A e B di intersezione della parabola con l asse delle ordinate. scrivi l equazione della circonferenza tangente alla parabola nei punti A e B
CIAO! :D
Aggiunto 22 ore 26 minuti più tardi:
si si il primo mi è chiarissimo :) grazie
Aggiunto 2 ore 13 minuti più tardi:
ho fatto qualche errore con i calcoli :P ma il procedimento mi è chiarissimo! :)
Risposte
la parabola e'
Troviamo i punti A e O:
L'asse delle ascisse e' y=0 quindi
Quindi per confronto
I punti A e O sono A(2,0) O(0,0)
(chiamandolo O il problema gia' ti suggeriva un punto..)
Tutti i punti che stanno sulla parabola, detta xP la x generica del punto, avranno
Quindi le coordinate di tutti i punti P saranno
Il triangolo APO ha come base il segmento AO (lungo 2) e come altezza, la distanza di P dall'asse x (ovvero il valore assoluto dell'ordinata di P)
Quindi l'area del triangolo sara'
Pertanto l'ordinata di P (altezza) dovra' essere 15/2, quindi
E quindi
Eliminaimo il valore assoluto:
Risolvi (devi risolvere due equazioni)
La prima:
Risolvi (con somma e prodotto o con la formula) come vuoi..
Pertanto avremo due punti che soddisfano la richiesta:
un punto sara'
E quindi
(in verita' era inutile calcolare l'ordinata, lo sapevamo che era o 15/2 o -15/2, in modo che la distanza dalla base (che sta sull'asse) fosse l'altezza ovvero 15/2
Se e' chiaro, ti posto il secondo
Aggiunto 2 ore 5 minuti più tardi:
Ti posto per il secondo, solo i passaggi...
Trovare i punti di intersezione tra due curve (in questo caso tra retta e parabola) significa risolvere il sistema
Quindi metti a sistema parabola e retta, trovando i due punti.
A quel punto devi trovare la circonferenza passante per 3 punti (ovvero i due punti trovati e l'origine)
Imposti un sistema sostituendo alla x e alla y le coordinate di un punto (I equazione), le coordinate dell'altro punto (II equazione) e l'origine (che ti dara' c=0)
Trovi cosi' a e b
Dimmi se e' chiaro o se non ti riesce
Aggiunto 1 secondi più tardi:
Ti posto per il secondo, solo i passaggi...
Trovare i punti di intersezione tra due curve (in questo caso tra retta e parabola) significa risolvere il sistema
Quindi metti a sistema parabola e retta, trovando i due punti.
A quel punto devi trovare la circonferenza passante per 3 punti (ovvero i due punti trovati e l'origine)
Imposti un sistema sostituendo alla x e alla y le coordinate di un punto (I equazione), le coordinate dell'altro punto (II equazione) e l'origine (che ti dara' c=0)
Trovi cosi' a e b
Dimmi se e' chiaro o se non ti riesce
Aggiunto 12 ore 31 minuti più tardi:
Il terzo..
hai il fascio di parabole (con parametro a)
La parabola che passa per il punto (2,2) sara' quella tale per cui x e y del punto ne soddisfano l'equazione, quindi
ovvero
La parabola cercata sara'
IL pezzo successivo e' incompleto nella richiesta, in quanto ti chiede di trovare le equazioni delle rette passanti per A e B, dove A e B sono i punti di intersezione tra la parabola e l'asse y (di equazione x=0)
I punti li trovi ponendo x=0 nella parabola, e risolvendo -1/2y^2+2y=0
Ma per i punti A e B (presi singolarmente) passano infinite rette! (mentre per entrambi passa una sola retta, che e', appunto,l'asse delle ordinate)
Secondo me ti chiede di trovare le tangenti alla parabola..
Comunque se ti chiede le rette tangenti alla parabola:
Scrivi il fascio di rette passanti per A
(
Poi metti a sistema il fascio con la parabola. Calcoli il delta della soluzione e lo poni = 0.
Considera inoltre che la circonferenza tangente alla parabola, e' anche tangente alle tangenti alla parabola...
Quindi per trovare la circonferenza tangente alla parabola nei punti A e B, trovi la circonferenza tangente alle rette.
Imposterai un sistema con queste tre condizioni:
Passaggio per A, passaggio per B, distanza del centro da una retta = distanza del centro dall'altra retta.
Non e' semplice, ma visti i dubbi sul testo, non mi perdo in mille conti..
Se poi mi dici il testo com'è, e non riesci, allora lo vediamo insieme :)
[math] y=- \frac12x^2+x [/math]
Troviamo i punti A e O:
L'asse delle ascisse e' y=0 quindi
[math] \{y=0 \\ y=- \frac12 x^2 + x [/math]
Quindi per confronto
[math] 0=- \frac12x^2+x \to x(-\frac12x+1)=0 \to x=0 \cup x=2 [/math]
I punti A e O sono A(2,0) O(0,0)
(chiamandolo O il problema gia' ti suggeriva un punto..)
Tutti i punti che stanno sulla parabola, detta xP la x generica del punto, avranno
[math] y=- \frac12x_P^2+x_P[/math]
Quindi le coordinate di tutti i punti P saranno
[math] P (x_P, - \frac12x_P^2+x[/math]
Il triangolo APO ha come base il segmento AO (lungo 2) e come altezza, la distanza di P dall'asse x (ovvero il valore assoluto dell'ordinata di P)
Quindi l'area del triangolo sara'
[math] A= \frac{b \cdot h}{2} \to h= \frac{2A}{b}= \frac{2 \cdot \frac{15}{2}}{2} = \frac{15}{2} [/math]
Pertanto l'ordinata di P (altezza) dovra' essere 15/2, quindi
[math] |- \frac12x_P^2+x_P|= \frac{15}{2} \to \frac{|-x_P^2+2x_P|}{2}= \frac{15}{2} [/math]
E quindi
[math] |-x_P^2+2x_P|=15[/math]
Eliminaimo il valore assoluto:
[math] -x_P^2+2x_P = \pm 15 [/math]
Risolvi (devi risolvere due equazioni)
La prima:
[math] -x_P^2+2x_P=15 \to x_P^2-2x_P+15=0 [/math]
che non ha soluzioni[math] -x_P^2+2x_P=-15 \to x_P^2-2x_P-15=0 [/math]
Risolvi (con somma e prodotto o con la formula) come vuoi..
[math] (x_P-5)(x_P+3)=0 \to x_P=5 \cup x_P=-3 [/math]
Pertanto avremo due punti che soddisfano la richiesta:
un punto sara'
[math] -3 , -\frac12(-3)^2+(-3) [/math]
(ho sostituito la x alla parabola :)E quindi
[math] C \(-3,- \frac{15}{2} \) [/math]
[math] D \(5, - \frac{15}{2} \) [/math]
(in verita' era inutile calcolare l'ordinata, lo sapevamo che era o 15/2 o -15/2, in modo che la distanza dalla base (che sta sull'asse) fosse l'altezza ovvero 15/2
Se e' chiaro, ti posto il secondo
Aggiunto 2 ore 5 minuti più tardi:
Ti posto per il secondo, solo i passaggi...
Trovare i punti di intersezione tra due curve (in questo caso tra retta e parabola) significa risolvere il sistema
Quindi metti a sistema parabola e retta, trovando i due punti.
A quel punto devi trovare la circonferenza passante per 3 punti (ovvero i due punti trovati e l'origine)
[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]
Imposti un sistema sostituendo alla x e alla y le coordinate di un punto (I equazione), le coordinate dell'altro punto (II equazione) e l'origine (che ti dara' c=0)
Trovi cosi' a e b
Dimmi se e' chiaro o se non ti riesce
Aggiunto 1 secondi più tardi:
Ti posto per il secondo, solo i passaggi...
Trovare i punti di intersezione tra due curve (in questo caso tra retta e parabola) significa risolvere il sistema
Quindi metti a sistema parabola e retta, trovando i due punti.
A quel punto devi trovare la circonferenza passante per 3 punti (ovvero i due punti trovati e l'origine)
[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]
Imposti un sistema sostituendo alla x e alla y le coordinate di un punto (I equazione), le coordinate dell'altro punto (II equazione) e l'origine (che ti dara' c=0)
Trovi cosi' a e b
Dimmi se e' chiaro o se non ti riesce
Aggiunto 12 ore 31 minuti più tardi:
Il terzo..
hai il fascio di parabole (con parametro a)
La parabola che passa per il punto (2,2) sara' quella tale per cui x e y del punto ne soddisfano l'equazione, quindi
[math] 2= \frac{a}{2}2^2-(a-1)2+ \frac{1+a}{2} [/math]
ovvero
[math] 2=2a-2a+2+ \frac{1+a}{2} \to 0=1+a \to a=-1 [/math]
La parabola cercata sara'
[math] x=- \frac12y^2+2y [/math]
IL pezzo successivo e' incompleto nella richiesta, in quanto ti chiede di trovare le equazioni delle rette passanti per A e B, dove A e B sono i punti di intersezione tra la parabola e l'asse y (di equazione x=0)
I punti li trovi ponendo x=0 nella parabola, e risolvendo -1/2y^2+2y=0
Ma per i punti A e B (presi singolarmente) passano infinite rette! (mentre per entrambi passa una sola retta, che e', appunto,l'asse delle ordinate)
Secondo me ti chiede di trovare le tangenti alla parabola..
Comunque se ti chiede le rette tangenti alla parabola:
Scrivi il fascio di rette passanti per A
(
[math] y-y_A=m(x-x_A) [/math]
dove xA e yA saranno le coordinate del punto (e quindi, ovviamente, xA=0 per entrambi)Poi metti a sistema il fascio con la parabola. Calcoli il delta della soluzione e lo poni = 0.
Considera inoltre che la circonferenza tangente alla parabola, e' anche tangente alle tangenti alla parabola...
Quindi per trovare la circonferenza tangente alla parabola nei punti A e B, trovi la circonferenza tangente alle rette.
Imposterai un sistema con queste tre condizioni:
Passaggio per A, passaggio per B, distanza del centro da una retta = distanza del centro dall'altra retta.
Non e' semplice, ma visti i dubbi sul testo, non mi perdo in mille conti..
Se poi mi dici il testo com'è, e non riesci, allora lo vediamo insieme :)
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