Piano proiettivo

[marco19881]

Oggi parlando di affinità la prof ci ha introdotto il piano proiettivo. Sinceramente non ho bene capito cos'è e a cosa serve. Sapete spigermelo in parole semplici? grazie ciao

[marco19881]

Nessuno ne sa niente? Grazie ciao

[elgiovo]

Il piano proiettivo è un piano "esteso", nel senso che possiede anche una retta di punti all'infinito, detta retta impropria. Ogni classe di rette parallele ha il suo punto all'infinito, ovvero il punto dove tali rette si incontrano, e tutti questi punti costituiscono, appunto, la retta impropria. Le coordinate cartesiane qui non bastano più, si usano le coordinate omogenee. Una breve spiegazione: al punto $(x,y)$ si associa l'insieme infinito di coordinate omogenee $(X,Y,T)$, con $x=X/T$, $y=Y/T$. In pratica a ogni elemento di $RR^2$ corrisponde una classe di elementi di $RR^3$. Ad esempio: $(1,1,1)$, $(-1,-1,-1)$, $(sqrt2,sqrt2,sqrt2)$ rappresentano tutti il punto $(1,1)$. I punti all'infinito hanno $T=0$. L'equazione della retta impropria è proprio $T=0$.

[marco19881]

grazie elgiovo.
Ma se io ho un punto di coordinate (x0;y0) che coordinate assume sul piano proiettivo? ed una retta? Se ho capito bene tutte i possibili fasci di rette parallele danno lugo alla retta all'infinito e quindi ogni fascio di rette parallele da origine ad un punto di tale retta. giusto?
grazie ciao