Perplessita.Sui limiti

[blackdie]

Prendiamo un esempio stupido:
Verificare il seguente limite $lim_(x->2)3^x=9$.
Si deve verificare la solita disequazione $|3^x-9| QUi viene la mia perplessita:la prof dice possiamo tranquillamente limitare $0
Ora non capisco
1 perche si possa limitare epsilon cosi liberamente, non deve esistere un intorno qualsiasi sia epsilon>0?:Cosa ci assicura che esite un epsilon maggiore della nostra limitazione x cui non esiste un intorno?
2 quale sarebbe sto teorema?

Ciao e grazie

[ficus2002]

"blackdie":la prof dice possiamo tranquillamente limitare $0 [...]
1 perche si possa limitare epsilon cosi liberamente, non deve esistere un intorno qualsiasi sia epsilon>0?

Se $\epsilon \ge 9$, allora il primo membro è negativo, quindi la disuguaglianza $9-\epsilon<3^x$ è sempre vera.
Per rispondere alla tua domanda: a rigore, la verifica va fatta per ogni $\epsilon>0$. Tuttavia, se dimostri che $|f(x)-y|<\epsilon_0$ per qualche $\epsilon_0>0$, a maggior ragione vale anche $|f(x)-y|<\epsilon$ anche per ogni $\epsilon\ge \epsilon_0$.

[Fioravante Patrone1]

esatto.

Le considerazioni di ficus2002 sono quelle che giustificano potersi limitare a considerare degli epsilon piccoli.

Di solito, visto che si tratta di una osservazione piuttosto semplice, essa non viene esplicitamente indicata come teorema.
Anche se ne varrebbe forse la pena, essendo una considerazione di un certo interesse.

Che fa il paio, ad esempio, col fatto (un po' meno ovvio) che volendo ci si può limitare agli epsilon in $QQ$. O anche solo agli epsilon del tipo $1/n$.

[blackdie]

"Fioravante Patrone":esatto.
Che fa il paio, ad esempio, col fatto (un po' meno ovvio) che volendo ci si può limitare agli epsilon in $QQ$. O anche solo agli epsilon del tipo $1/n$.

Ringrazio entrambi x le spiegazioni, ma perche fioravente si potrebbe addirittura limitare epsilon in quel modo?mi sfugge proprio.

Grazie

[Fioravante Patrone1]

perché tu devi provare che:

"per ogni epsilon positivo ... vale una disuguaglianza del tipo $|f(x) - l| < \epsilon$" $\quad$ (1)

allora, prendi un $\epsilon_0$ positivo

se hai già dimostrato che la (1) vale per ogni epsilon in $QQ$, ti basta notare che c'è sicuramente un $\epsilon$ in $QQ$ che è positivo ed è minore di $\epsilon_0$. Usi lo stesso "delta" che ti andava bene per questo $\epsilon$ e quindi ottieni: $|f(x) - l| < \epsilon$. Ma $\epsilon < \epsilon_0$ e quindi la (1) è soddisfatta