Periodo particolare funzione trigonometrica

[V3rgil]

Scusatemi ancora questi piccoli dubbi pre-esami xD
Ma $cos(pi/x)$ non è una funzione periodica vero? xD
Come si può dimostrare che non è periodica?
Io il disegno l'ho fatto e mi trovo con il fatto che non sia periodica (basta solo notare che ha un asintoto orizzontale x=0)... Però mi chiedevo magari se al posto di fare il disegno non esistesse qualche altro modo più corretto analiticamente ad esempio


Grazie ancora =)

[gugo82]

Supponi che per due valori $x,y$ della variabile si abbia $f(x)=f(y)$ e vedi se puoi determinare $y$ in funzione di $x$; se $y$ è del tipo $x+"numero intero"*"costante positiva"$ allora $f$ è periodica (col periodo $T$ uguale alla più piccola $"costante positiva"$ che puoi usare per rappresentare $y$ in funzione di $x$), altrimenti non lo è.

[V3rgil]

Fin qui c'ero arrivato a pensarlo però non pensavo fosse giusto, forse perché non ho poi pensato di sostituire alla y ;D come ora mi hai fatto venire in mente, Denghiù... Risolvendo
$cos(pi/x)=cos(pi/y)$
viene
$y=+-x/(2xkpi+1)$
che non trovandosi nella forma
$x+kT$ con $k$ appartenente a $ZZ$ e $T$ a $R^+$
Vuol significare che la funzione non è periodica giusto??
poiché per esserlo dovrebbe essere nella forma
$f(x)=f(x+kT)$

Ps.
Il $+-$ non cambia niente no?

[gugo82]

"V3rgil":Fin qui c'ero arrivato a pensarlo però non pensavo fosse giusto, forse perché non ho poi pensato di sostituire alla y ;D come ora mi hai fatto venire in mente, Denghiù... Risolvendo
$cos(pi/x)=cos(pi/y)$
viene
$y=+-x/(2xkpi+1)$
che non trovandosi nella forma
$x+kT$ con $k$ appartenente a $ZZ$ e $T$ a $R^+$
Vuol significare che la funzione non è periodica giusto??
poiché per esserlo dovrebbe essere nella forma
$f(x)=f(x+kT)$

Ps.
Il $+-$ non cambia niente no?

Giusto!

Per la faccenda del $pm$: stavolta non cambia nulla perchè la funzione coseno è pari; però potrebbero presentarsi casi in cui devi stare più attento perchè a segni diversi possono corrispondere situazioni diverse. Ad ogni modo, sarebbe meglio esaminare separatamente i due casi, credo.

[V3rgil]

Ad esempio giusto per chiarirmi le idee xD

$sinx$ vogliamo dimostrare sia periodica

$sinx$=$siny$

$y=x+2kpi$ o $y=pi-x+2kpi$

sostituendo
$f(x)=f(y)$

$f(180-x)=f(x)=f(x+2kpi)=f(pi-x+2kpi)$
Dove $f(180-x)$ sarebbe del tipo
$f((g(x))=f(g(x)+2kpi)$
con $g(x)=180-x$

Dubbio 1: Anche quando si ha funzione di funzione $f((g(x))=f(g(x)+2kpi)$ si può dire che la funzione è periodica o deve per forza essere equivalente alla forma $f(x)=f(x+kt)$??

Dubbio 2: per dire che una funzione è periodica bastava che solo uno dei due risultati della y fosse stato del tipo $x+kT$ o necessariamente anche l'altro?
Io penso che escludendo particolari casi in cui sussistano valori assoluti o funzioni definite in modi particolari con sistemi per intenderci... essendo le due $y$ uguali seppure non nella forma
$y=x+kT$ e $y=pi-x+kT$
Dunque $x+kT=pi-x+kT$
basti che uno solo dei due si nella forma $x+kT$ poiché la particolare forma equivalente dell'altro dipenderà da particolari simmetrie della funzione come accade nella funzione seno per l'appunto. Almeno questo è quello che osno riuscito a pensare xD...
Che mi dici? xD

Gracias ancora ;D

[V3rgil]

Penso di aver risolto
prendendo il caso del coseno ad esempio
$f(x)=f(+-x+kT)$
avremo
$f(x)=f(+-(x+-kT))$
$f(x)=f(x+-kT)$
essendo k appartenente a z possiamo inglobare il più o meno no?
$f(x)=f(x+kT)$

lo stesso per senx
1:
$f(x)=f(+x+kT)$
2:
$f(x)=f(180-x+kT)$
$f(x)=f(180-(x-kT))$
$f(x)=f(x-kT)$
da cui sempre essendo k appartenente a z possiamo inglobare il $+-$ (considerando anche il primo) no?
$f(x)=f(x+kT)$


Solo la questione dell'inglobare il - in k giusto per chiarire è sempre possibile farla sempre no?
Ovviamente a patto che k possa e debba assumere come per definizione di funzione periodica tutti i valori dell'insieme Z
Ps. penso anche di aver capito quest'ultimo essendo
$k = +-g$ con $g$ appartenente a $N$ con 0 incluso
sarà
$+-k= -+g$
dove $-+g$ è un numero $t$ appartenente a $Z$
Quindi al massimo volendo essere proprio precisi più che inglobare nella variabile $k$ si dovrebbe cambiare variabile no?