Periodo funzioni
Ho la seguente funzione : $y=2sin^2x/2+cosx$ ora la posso traformare come $y=1-cosx+cosx$ ,ora qual'è il periodo di questa funzione? È ancora una funzione goniometrica?
Risposte
"matematicus95":
la posso traformare come $y=1-cosx+cosx$
Già, diventa la funzione $y=1$ che è una funzione costante (e non più goniometrica, dunque).
... strano esercizio
Quindi come la devo risolvere ?
"matematicus95":
Quindi come la devo risolvere ?
Suppongo che dato che è costante niente periodo (o periodo nullo) poiché per una funzione costante non ha senso parlare di periodo dato che il periodo dovresti averlo definito come la più piccola costante $c$ reale tale che $f(x+c)=f(x)$.
Ma il libro mi da come risultato $2pi$
Chiedo venia, mi sono lasciato un po' trasportare.
Il discorso è sempre il solito e io - nonostante sono quello che lo ripete - me lo dimentico per primo.
Ti faccio un esempio: qual è il dominio della funzione
$f(x) = \frac{x-1}{x-1}$
- Risposta corretta $x\ne 1$.
- Risposta logica (ma sbagliata), semplificando si ottiene $f(x)=1$ dunque il dominio è $\RR$.
La risposta corretta è la prima perché quando si tratta di domini/periodi e cose simili occorre considerare la scrittura iniziale: eventuali semplificazioni servono solo per quando si tracciano grafici (tenendo conto del fatto che non di rado semplificando si perdono informazioni come ho appena detto) o per altre cose meccaniche.
Come ho detto in genere sono io a ricordare una cosa del genere ma nonostante tutto sono il primo a scordarmela per cui mi becco metaforicamente un bello scapaccione per la mia gaffe.
Rimedio subito e chiedo scusa per la mia svista...
Non so che mezzi hai per calcolare il periodo della funzione, ma generalmente si considera il periodo di ogni pezzettino e poi si prende il m.c.m. per il periodo totale (o almeno 7-8 anni fa facevo così!).
1.
$cos(x)$ sappiamo che ha periodo $2\pi$... senza che stiamo a fare chissà quale ragionamento matematico
2.
$2sin^2 (x/2)$ è più complicata. Il metodo matematico-noioso ma corretto è quello di fare il calcolo lungo ricordando la formula di somma del seno, cioè
$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$,
che è contoso ma dovrebbe andare.
$2sin^2 (x/2) = 2(sin(x/2))^2$
quindi lasciamo perdere un attimo il quadrato e facciamo il calcolo
$sin(x/2+c)=sin(x/2)cos(c)+cos(x/2)sin(c)$.
Con qualche considerazione si vede che un $c$ che risolve il tutto è $c=2\pi$ perché sostituendo $c=2\pi$ si ottiene al secondo membro
$sin(x/2)cos(2\pi)+cos(x/2)sin(2\pi)=sin(x/2)$.
Ora si può anche andare avanti e vedere se esiste un altro $c$ più piccolo di quello trovato che vale come periodo della funzione $2sin^2 (x/2)$ ma non conviene perché alla fine occorre trovare un periodo che valga per la funzione nel suo complesso quindi non andrebbe bene un $c$ più piccolo.
Mi spiego meglio con un esempio: ammettendo che $c=\pi$ sia il periodo di $2sin^2(x/2)$ (non so se è così) avremmo comunque che il periodo totale della funzione deve essere $2\pi$.
Altro ragionamento.
La sostituzione sulla scrittura iniziale si può fare se non si perdono informazioni facendola (quidi "sostituzione" ok, ma "semplificazione" no).
Scrivendo, dunque
$f(x)=1-cos(x)+cos(x)$
si ottiene una formulazione equivalente da cui si può anche partire per studiare il periodo che si vede facilmente essere $2\pi$.
Appunto finale.
Nella pratica, la tua funzione diventa $y=1$ che è costante e per la quale non ha senso parlare di periodo. Questo ulteriore passo è utile per disegnare il grafico o altre cose simili ma in realtà non è la formulazione originale (proprio perché la semplificazione in genere fa perdere informazioni) per cui qualsiasi studio di dominio/periodo e altre cose simili che si possono perdere con la semplificazione non va fatto in questa sede.
La tirata d'orecchi in questo caso va fatta al sottoscritto (io) che in genere ricorda sempre agli altri queste cose salvo poi dimenticarsele lui!!!
EDIT
Ovviamente io, non essendo un prof, aspetto qualche parere autorevole che possa confermare/smentire quanto ho scritto qui.
Il discorso è sempre il solito e io - nonostante sono quello che lo ripete - me lo dimentico per primo.
Ti faccio un esempio: qual è il dominio della funzione
$f(x) = \frac{x-1}{x-1}$
- Risposta corretta $x\ne 1$.
- Risposta logica (ma sbagliata), semplificando si ottiene $f(x)=1$ dunque il dominio è $\RR$.
La risposta corretta è la prima perché quando si tratta di domini/periodi e cose simili occorre considerare la scrittura iniziale: eventuali semplificazioni servono solo per quando si tracciano grafici (tenendo conto del fatto che non di rado semplificando si perdono informazioni come ho appena detto) o per altre cose meccaniche.
Come ho detto in genere sono io a ricordare una cosa del genere ma nonostante tutto sono il primo a scordarmela per cui mi becco metaforicamente un bello scapaccione per la mia gaffe.
Rimedio subito e chiedo scusa per la mia svista...
Non so che mezzi hai per calcolare il periodo della funzione, ma generalmente si considera il periodo di ogni pezzettino e poi si prende il m.c.m. per il periodo totale (o almeno 7-8 anni fa facevo così!).
1.
$cos(x)$ sappiamo che ha periodo $2\pi$... senza che stiamo a fare chissà quale ragionamento matematico
2.
$2sin^2 (x/2)$ è più complicata. Il metodo matematico-noioso ma corretto è quello di fare il calcolo lungo ricordando la formula di somma del seno, cioè
$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$,
che è contoso ma dovrebbe andare.
$2sin^2 (x/2) = 2(sin(x/2))^2$
quindi lasciamo perdere un attimo il quadrato e facciamo il calcolo
$sin(x/2+c)=sin(x/2)cos(c)+cos(x/2)sin(c)$.
Con qualche considerazione si vede che un $c$ che risolve il tutto è $c=2\pi$ perché sostituendo $c=2\pi$ si ottiene al secondo membro
$sin(x/2)cos(2\pi)+cos(x/2)sin(2\pi)=sin(x/2)$.
Ora si può anche andare avanti e vedere se esiste un altro $c$ più piccolo di quello trovato che vale come periodo della funzione $2sin^2 (x/2)$ ma non conviene perché alla fine occorre trovare un periodo che valga per la funzione nel suo complesso quindi non andrebbe bene un $c$ più piccolo.
Mi spiego meglio con un esempio: ammettendo che $c=\pi$ sia il periodo di $2sin^2(x/2)$ (non so se è così) avremmo comunque che il periodo totale della funzione deve essere $2\pi$.
Altro ragionamento.
La sostituzione sulla scrittura iniziale si può fare se non si perdono informazioni facendola (quidi "sostituzione" ok, ma "semplificazione" no).
Scrivendo, dunque
$f(x)=1-cos(x)+cos(x)$
si ottiene una formulazione equivalente da cui si può anche partire per studiare il periodo che si vede facilmente essere $2\pi$.
Appunto finale.
Nella pratica, la tua funzione diventa $y=1$ che è costante e per la quale non ha senso parlare di periodo. Questo ulteriore passo è utile per disegnare il grafico o altre cose simili ma in realtà non è la formulazione originale (proprio perché la semplificazione in genere fa perdere informazioni) per cui qualsiasi studio di dominio/periodo e altre cose simili che si possono perdere con la semplificazione non va fatto in questa sede.
La tirata d'orecchi in questo caso va fatta al sottoscritto (io) che in genere ricorda sempre agli altri queste cose salvo poi dimenticarsele lui!!!
EDIT
Ovviamente io, non essendo un prof, aspetto qualche parere autorevole che possa confermare/smentire quanto ho scritto qui.
Il mio parere non è certo fra i più autorevoli, ma secondo me il libro sbaglia ed il periodo è zero. Le osservazioni di Zero87 sono verissime per quanto riguarda il dominio ma non per il periodo.
Le regole normalmente usate per cercarlo sono
- il periodo di $sinkx$ è $(2pi)/k$ (e simili per coseno e tangente);
- si prende il m.c.m. fra i periodi trovati.
Così facendo però si trova un valore di $T$ tale che $f(x+T)=f(x)$ ma non è detto che sia il più piccolo valore possibile ed il vero periodo può anche essere un sottomultiplo di $T$: o ci si rassegna a studiare molte regole e regolette (che non ho mai visto scritte), o si ha un lampo di genio, oppure lo si scopre dal grafico, confermandolo poi con i calcoli.
Faccio un esempio semplicissimo: applicando le regole citate, la funzione $f(x)=2sinxcosx$ sembra avere $T=2pi$, mentre in realtà ha $T=pi$ e lo dimostro con
$f(x+pi)=2sin(x+pi)cos(x+pi)=2(-sinx)(-cosx)=2sinxcosx=f(x)$
Come vedete, non c'è stato alcun bisogno della formula di duplicazione, il cui uso poteva dare adito a dubbi.
Le regole normalmente usate per cercarlo sono
- il periodo di $sinkx$ è $(2pi)/k$ (e simili per coseno e tangente);
- si prende il m.c.m. fra i periodi trovati.
Così facendo però si trova un valore di $T$ tale che $f(x+T)=f(x)$ ma non è detto che sia il più piccolo valore possibile ed il vero periodo può anche essere un sottomultiplo di $T$: o ci si rassegna a studiare molte regole e regolette (che non ho mai visto scritte), o si ha un lampo di genio, oppure lo si scopre dal grafico, confermandolo poi con i calcoli.
Faccio un esempio semplicissimo: applicando le regole citate, la funzione $f(x)=2sinxcosx$ sembra avere $T=2pi$, mentre in realtà ha $T=pi$ e lo dimostro con
$f(x+pi)=2sin(x+pi)cos(x+pi)=2(-sinx)(-cosx)=2sinxcosx=f(x)$
Come vedete, non c'è stato alcun bisogno della formula di duplicazione, il cui uso poteva dare adito a dubbi.
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