Periodo di una funzione

[theghost1]

Salve a tutti,
ho qualche difficoltà nel risolvere questa funzione:

y= $ sin (2 -: 3 x) + $ sin $ (1 -: 4 x) $

non sapendo come procedere, ho cominciato a trovare il periodo della prima, il quale risulta essere 3π e quello della seconda, che è 8π.
ora cosa devo fare? Cercando in Internet ho visto che si deve fare il m.c.m. dei due periodi, ma perchè?
grazie a chi mi chiarirà un po' le idee.

[chiaraotta1]

Scusa, ma non sono sicura di capire la scrittura:
y= \( \displaystyle {\sin{{\left({2}\div{3}{x}\right)}}}+ \) sin \( \displaystyle {\left({1}\div{4}{x}\right)} \)
è la funzione
$y = sin(2/3*x)+sin(1/4*x)$?

[theghost1]

Sì, è proprio quella e mi scuso per la scrittura inadeguata.

[piero_1]

Una funzione è periodica se assume gli stessi valori dopo un dato intervallo (il periodo T). Se una funzione ha periodo T, ha anche periodo kT, con k intero positivo.
\[\displaystyle f(x) = f(x + T)= f(x + kT)\]
Nel tuo caso:

\(\displaystyle f(x) = \sin \left(\frac{2}{3}x\right) = \sin \left(\frac{2}{3}(x + 3\pi )\right) = \sin \left(\frac{2}{3}(x + 6\pi )\right) = ... = \sin \left(\frac{2}{3}(x + 24\pi )\right)\)
\(\displaystyle g(x) = \sin \left(\frac{1}{4}x\right) = \sin \left(\frac{1}{4}(x + 8\pi )\right) = \sin \left(\frac{1}{4}(x + 16\pi )\right) = \sin \left(\frac{1}{4}(x + 24\pi )\right)\)
\(T = 24\pi\) è il minimo tra i periodi comuni alle due funzioni e risulta essere il perido di:

\[\displaystyle y = \sin \left( {\frac{2}{3}x} \right) + \sin \left( {\frac{1}{4}x} \right)\]

p.s.

Non esiste una regola generale per il calcolo del periodo di somme o sottrazioni di funzioni periodiche
ti faccio un controesempio:
\(\displaystyle f(x) = sin(x)\) periodo \(T_1 = 2\pi\)
\(\displaystyle g(x) = \sin (\pi x)\) periodo \(T_2 = 2\)
ma la funzione somma delle due non è periodica.

[theghost1]

Grazie mille!