Periodo di una funzione
Come posso calcolare il periodo delle seguenti funzioni: sen( 1/2x) , cos(x^2), e^|secx|, l'ultima ha periodo pigreco. Ho provato in mille modi , l'unico procedimento giusto mi sembra la rappresentazione grafica , cosa ve ne pare?
Risposte
Intendi $sen(1/2x)$ oppure $sen(1/(2x))$?
Intendo la seconda cioè $ sen(1/(2x)) $
allora: una funzione è periodica di periodo $\tau$ quando esiste $\tau in RR:f(x)=f(x+\tau)AAx in RR$
Quindi applichiamo questa condizione ad esempio ad $e^|secx|$.
Ci chiediamo quand'è che la funzione assume valori uguali per due $x_1 , x_2:x_1!=x_2$. Ne ricaviamo che $e^|secx_1|=e^|secx_2|rArr|secx_1|=|secx_2|rArr|1/cosx_1|=|1/cosx_2|rArr|cosx_1|=|cosx_2|rArrx_1=x_2+k\pi,k in ZZ-{0}$ e così si capisce che il periodo della funzione è $\pi$. Puoi procedere in questo modo anche per le altre due, ma ti posso dire che le altre non sono periodiche!
Quindi applichiamo questa condizione ad esempio ad $e^|secx|$.
Ci chiediamo quand'è che la funzione assume valori uguali per due $x_1 , x_2:x_1!=x_2$. Ne ricaviamo che $e^|secx_1|=e^|secx_2|rArr|secx_1|=|secx_2|rArr|1/cosx_1|=|1/cosx_2|rArr|cosx_1|=|cosx_2|rArrx_1=x_2+k\pi,k in ZZ-{0}$ e così si capisce che il periodo della funzione è $\pi$. Puoi procedere in questo modo anche per le altre due, ma ti posso dire che le altre non sono periodiche!
"maria60":
Come posso calcolare il periodo delle seguenti funzioni: sen( 1/2x) , cos(x^2), e^|secx|, l'ultima ha periodo pigreco. Ho provato in mille modi , l'unico procedimento giusto mi sembra la rappresentazione grafica , cosa ve ne pare?
In aggiunta a quanto detto da Boris ti indico una strada per determinare in generale il periodo di qualche funzione.
Per determinare il periodo T di una funzione del tipo $y=senbx$ si deve tener conto che deve essere:
$sen bx=sen b(x+T) = sen(bx+bT)$
da cui si ottiene
$bT=2pi$ e cioè $T= (2pi)/b$
Se poi hai una fuonzione del tipo $y=senbx+sendx$, per determinarne il periodo si tiene conto che:
-il primo addendo ha periodo $T=(2pi)/b$
-il secondo addendo ha periodo $T=(2pi)/d$
La somma ha periodo $T=(2pi)/(MCD(b,d))$ dove MCD indica il massimo comun divisore.
"Boris":
Puoi procedere in questo modo anche per le altre due, ma ti posso dire che le altre non sono periodiche!
perchè non sarebbero periodiche le altre due?
"Lucky91":
[quote="Boris"] Puoi procedere in questo modo anche per le altre due, ma ti posso dire che le altre non sono periodiche!
perchè non sarebbero periodiche le altre due?[/quote]
sono d'accordo con quanto hai detto per le funzioni del tipo $sen(bx)$, ma le funzioni di maria60 sono $sen(1/(2x))$ e $cos(x^2)$, e provando a cercarne un periodo otterremmo:
$sen(1/(2x_1))=sen(1/(2x_2))rArr1/(2x_1)=1/(2x_2)+2k\pirArrx_1=x_2/(1+4k\pix_2)$ e otterrei uno "pseudo periodo" in funzione di $x_2.$
..eppure $y=cos x^2$ io l'avrei detta periodica di periodo $T=pi$ ..
faccio un esempio: se fosse $cos(x^2)$ periodica di periodo $\pi$ sarebbe:
$cos(x^2)=cos((x+\pi)^2) AA x in RR$
prendiamo ad esempio $x=0$
$cos0=1$ ma $cos(\pi^2)~~-0.9026853619$
Forse però ci stiamo fraintendendo sulla posizione di quel quadrato: se stai intendendo $(cosx)^2$, allora è ben altra cosa, essendo questa periodica con $T=\pi$
$cos(x^2)=cos((x+\pi)^2) AA x in RR$
prendiamo ad esempio $x=0$
$cos0=1$ ma $cos(\pi^2)~~-0.9026853619$
Forse però ci stiamo fraintendendo sulla posizione di quel quadrato: se stai intendendo $(cosx)^2$, allora è ben altra cosa, essendo questa periodica con $T=\pi$
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